Dane:

$m_{\text{Cn}}=460,138852\cdot {10}^{-27}\text{kg}$  

$A=277$  

$Z=112$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość prędkości światła w próżni: $c=299792458\frac{\text{m}}{\text{s}}$ , 

▶ masa spoczynkowa protonu: $m_p=1,67262192\cdot {10}^{-27}\text{kg}$ ,

▶ masa spoczynkowa neutronu: $m_n=1,67492749\cdot {10}^{-27}\text{kg}$ .

Szukane:

$E=?$  

Rozwiązanie:

Najmniejsza energia, jaką należy dostarczyć do izotopu będzie odpowiadała energii wiązania dla tego izotopu. Energia wiązania jest to energia, jaka wydzieliłaby się podczas łączenia nukleonów w jądro atomowe. Obliczamy ją za pomocą wzoru:

$E_{\text{w}}=\Delta m{c}^2$  

gdzie:

$\Delta m$  - deficyt masy, czyli różnica mas pomiędzy składnikami jądra atomowego, a masą całego jądra, 

$c$  - wartość prędkości światła. 

Z treści zadania znamy masę jądra izotopu. Znamy też liczbę masową i atomową pierwiastka. Liczba protonów w jądrze tego pierwiastka odpowiada liczbie atomowej $Z$ , natomiast liczba neutronów odpowiada różnicy pomiędzy liczbą masową, a atomową $A-Z$ . Zatem masa wszystkich protonów w tym izotopie to:

$M_p=Z{m}_p$  

gdzie:

$M_p$  - całkowita masa protonów w jądrze, 

$Z$  - liczba protonów w jądrze (liczba atomowa), 

$m_p$  - masa pojedynczego protonu.

Natomiast masa wszystkich neutronów w tym izotopie to:

$M_n=\left(A-Z\right)m_n$   

gdzie:

$M_n$  - całkowita masa neutronów w jądrze, 

$A-Z$  - liczba neutronów w jądrze, gdzie $A$  to liczba masowa,  

$m_n$  - masa pojedynczego neutronu.

Z powyższych zależności wynika, że deficyt mas dla tego izotopu kopernika będzie wynosił:

$\Delta m=M_p+M_n-m_{\text{Cn}}$  

gdzie:

$m_{\text{Cn}}$  - masa całego jądra. 

Ostatecznie najmniejszą energię, jaką należałoby dostarczyć do jądra kopernika obliczamy z zależności:

$E_{\text{w}}=\Delta m{c}^2$  

$E_{\text{w}}=\left(M_p+M_n-m_{\text{Cn}}\right)c^2$  

$E_{\text{w}}=\left(Z{m}_p+\left(A-Z\right)m_n-m_{\text{Cn}}\right)c^2$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru (obliczenia wykonujemy za pomocą kalkulatora):

$E_{\text{w}}=\left(112\cdot 1,67262192\cdot {10}^{-27}\text{kg}+\left(277-112\right)\cdot 1,67492749\cdot {10}^{-27}\text{kg}-460,138852\cdot {10}^{-27}\text{kg}\right)\cdot {\left(299792458\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2\approx$  

$\approx \left(112\cdot 1,67262192\cdot {10}^{-27}\text{kg}+165\cdot 1,67492749\cdot {10}^{-27}\text{kg}-460,138852\cdot {10}^{-27}\text{kg}\right)\cdot {\left(2,9979\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2\approx$  

$\approx \left(187,333655\cdot {10}^{-27}\text{kg}+276,362955\cdot {10}^{-27}\text{kg}-460,138852\cdot {10}^{-27}\text{kg}\right)\cdot 8,98740441\cdot {10}^{16}\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=$  

$=3,557758\cdot {10}^{-27}\text{kg}\cdot 8,98740441\cdot {10}^{16}\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\approx$  

$\approx 31,975\cdot {10}^{-11}\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=3,1975\cdot {10}^{-10}\text{J}$  

Wartość należy podać z dokładnością do 3 cyfr znaczących:

$E_{\text{w}}\approx 3,20\cdot {10}^{-10}\text{J}$  

Wiemy również, że w przypadku energii jądrowych wynik podajemy w jednostkach pochodnych od elektronowolta. Z tablic maturalnych odczytam, że:

$1\text{eV}\approx 1,602176634\cdot {10}^{-19}\text{J}$  

Wykonajmy przekształcenia jednostki wykorzystując metodę "wirtualnej jedynki":

$E_{\text{w}}\approx 3,1975\cdot {10}^{-10}\text{J}=3,1975\cdot {10}^{-10}\text{J}\cdot \text{1}=$  

$=3,1975\cdot {10}^{-10}\text{J}\cdot \frac{1,602176634\cdot {10}^{-19}\text{J}}{1,602176634\cdot {10}^{-19}\text{J}}=$  

$=1,602176634\cdot {10}^{-19}\text{J}\cdot \frac{3,1975\cdot {10}^{-10}\cancel{\text{J}}}{1,602176634\cdot {10}^{-19}\cancel{\text{J}}}=$  

$=1\text{eV}\cdot \frac{3,1975\cdot {10}^{-10}}{1,602176634\cdot {10}^{-19}}\approx 1\text{eV}\cdot 1,9957\cdot {10}^9=$  

$=1,9957\cdot {10}^9\text{eV}=1,9957\text{GeV}\approx 2,00\text{GeV}$  

Odpowiedź: Najmniejsza energia, którą należałoby dostarczyć do jądra izotopu ²⁷⁷Cn wynosi około 3,20∙10^-10J, co odpowiada około 2,00 GeV.