Dane:

$v_{0P}=20\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$v_F=35\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$d_0=40\text{m}$  

$t_0=0$  

$a=6\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Szukane:

$d_{\max }=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Rozważmy teraz układ inercjalny, w którym samochód 𝓟 jest w spoczynku względem samochodu 𝓕. Zatem rozważmy układ odniesienia, który porusza się z szybkością:

$v=v_{0P}$  

w prawą stronę. W układzie takim samochód 𝓟 jest w spoczynku, a samochód 𝓕 porusza się z prędkością o wartości:

$v_{F{}^{\prime }}=v_F-v_{0P}$  

gdzie:

$v_{F{}^{\prime }}$  - wartość prędkości samochodu 𝓕 w inercjalnym układzie odniesienia, który porusza się z szybkością $v$  ,

$v_F$  - wartość prędkości samochodu 𝓕 w układzie odniesienia względem drogi,

$v_P$  - wartość prędkości samochodu 𝓟 w układzie odniesienia względem drogi.

Pojazd 𝓟 porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, zatem odległość jaką pokona po pewnym czasie  $t$  opisuje wzór:

$s=vt$  

gdzie:

$s$  - droga,

$v$  - wartość prędkości,

$t$  - czas.

Odległość pomiędzy samochodami w ruchu jednostajnym prostoliniowym jest taka sama w każdym inercjalnym układzie odniesienia, czyli układzie poruszającym się z pewną stałą szybkością. Zatem odległość  $d_0$  opisuje wzór:

$d_0=v_{F{}^{\prime }}t$  

gdzie:

$t$  - czas jaki upłynął od momentu, gdy samochód 𝓕 wyprzedził samochód 𝓟.

Narysujmy teraz przedstawioną sytuację w inercjalnym układzie odniesienia przed rozpoczęciem poruszania się samochodu 𝓟 w ruchu przyspieszonym:

Zakładamy, że od tego momentu tj. gdy odległość pomiędzy samochodami wynosi  $d_0$  jest liczony czas  $t_0=0$  . 

Zgodnie z treści zadania od tego momentu samochód policyjny zaczął przyspieszać ze stałym przyspieszeniem, natomiast samochód 𝓕 cały czas porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. 

Rozważmy teraz drogi jakie przebędą od tego momentu te samochody.

Droga jaką przebędzie samochód 𝓟

Drogę jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$  

gdzie:

$v_0$  - wartość prędkości początkowej ciała, 

$a$  - wartość przyspieszenia z jakim porusza się ciało, 

$t$  - czas ruchu ciała. 

Wiemy, że wartość prędkości początkowej samochodu policyjnego  w tym układzie inercjalnym w momencie  $t_0$  wynosi:

$v_0=0$  

Zatem drogą jaką przebędzie samochód policyjny w tym układzie inercjalnym opisuje wzór:

$s_{P{}^{\prime }}=\frac{1}{2}a{t}^2$  

Droga jaką przebędzie samochód 𝓕

 Zgodnie z treścią zadania samochód 𝓕 porusza się ruchem jednostajnie prostoliniowym. Zatem drogę jaką przebędzie w tym układzie inercjalnym w czasie  $t$  opisuje wzór:

$s_{F{}^{\prime }}=v_{F{}^{\prime }}t$  

Jednakże zauważmy, że odległość od początku układu inercjalnego, czyli od punktu, w którym samochód 𝓟 zaczyna ruch jednostajnie przyspieszony opisywana jest wzorem:

$s=d_0+s_{F{}^{\prime }}$  

$s=d_0+v_{F{}^{\prime }}t$  

Zatem odległość zmieniającą się w czasie pomiędzy samochodami opisuje wzór:

$d\left(t\right)=s-s_{P{}^{\prime }}$  

$d\left(t\right)=d_0+v_{F{}^{\prime }}t-\frac{1}{2}a{t}^2$  

Jak widzimy jest to parabola odwrócona, ponieważ współczynnik przy $t^2$  jest mniejszy od zera:

 Chcąc wyznaczyć odległość maksymalną musimy wyznaczyć położenie na osi  $y$  wierzchołka tej paraboli. Korzystamy ze wzoru na  $q$  paraboli:

$q=\frac{-\Delta }{4a}$  

Wyznaczamy więc wzór na deltę:

$\Delta =b^2-4ac$  

$\Delta ={\left(v_{F{}^{\prime }}\right)}^2-4\cdot \left(-\frac{1}{2}a\right)\cdot d_0$  

$\Delta =v_{F{}^{\prime }}^2+4\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot d_0$  

$\Delta =v_{F{}^{\prime }}^2+2a{d}_0$  

Zatem:

$q=\frac{-\left(v_{F{}^{\prime }}^2+2a{d}_0\right)}{4\cdot \left(-\frac{1}{2}a\right)}$  

$q=\frac{-\left(v_{F{}^{\prime }}^2+2a{d}_0\right)}{-4\cdot \frac{1}{2}\cdot a}$  

$q=\frac{-\left(v_{F{}^{\prime }}^2+2a{d}_0\right)}{-\left(2a\right)}$  

$q=\frac{v_{F{}^{\prime }}^2+2a{d}_0}{2a}$  

$q=\frac{v_{F{}^{\prime }}^2}{2a}+\frac{2a{d}_0}{2a}$  

$q=\frac{v_{F{}^{\prime }}^2}{2a}+d_0$  

Pamiętamy, że:

$v_{F{}^{\prime }}=v_F-v_{0P}$  

Zatem ostatecznie wzór na odległość maksymalną przyjmuję postać:

$d_{\max }=\frac{{\left(v_F-v_{P0}\right)}^2}{2a}+d_0$  

Wstawiamy dane i obliczamy:

$d_{\max }=\frac{{\left(35\frac{\text{m}}{\text{s}}-20\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{2\cdot 6\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}+40\text{m}=\frac{{\left(15\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{12\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}+40\text{m}=$  

$=\frac{225\frac{\text{m}}{\text{s}}}{12\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}+40\text{m}=18,75\text{m}+40\text{m}=58,75\text{m}$  

Odpowiedź: Maksymalna odległość pomiędzy samochodami wyniosła 58,75 m.