W cylindrze szczelnie zamkniętym ruchomym tłokiem...- Zadanie 6.2: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Uzasadnienie:

Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury gazu przy stałej objętości wyraża się wzorem:

$Q_{V} = n C_{V} Δ T_{1}$

gdzie:

$Q$ - ciepło wymienione z otoczeniem,

$n$ - liczba moli gazu,

$C_{V}$ - ciepło molowe przy stałej objętości,

$Δ T_{1}$ - zmiana temperatury gazu.

Natomiast ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury gazu przy stałym ciśnieniu wyraża się wzorem:

$Q_{p} = n C_{p} Δ T_{2}$

gdzie:

$Q$ - ciepło wymienione z otoczeniem,

$n$ - liczba moli gazu,

$C_{p}$ - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu,

$Δ T_{2}$ - zmiana temperatury gazu.

Z treści zadania wiemy, że ilość dostarczonego ciepła jest taka sama w obu przemianach oraz ilość gazu $n$ też się nie zmieniła. Zatem:

$Q_{p} = Q_{V}$

$n C_{p} Δ T_{2} = n C_{V} Δ T_{1} | : n$

$C_{p} Δ T_{2} = C_{V} Δ T_{1} | : Δ T_{1}$

$\frac{Δ T _{2}}{Δ T _{1}} C_{p} = C_{V} | : C_{p}$

$\frac{Δ T _{2}}{Δ T _{1}} = \frac{C _{V}}{C _{p}}$

W naszym przypadku mamy gaz doskonały jednoatomowy. W treści zadania jest podane ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości:

$C_{V} = \frac{3}{2} R$

Zależność pomiędzy ciepłem molowym przy stałym ciśnieniu a ciepłem molowym przy stałej objętości jest dana wyrażeniem:

$C_{p} - C_{V} = R$

gdzie:

$C_{p}$ - ciepło molowe przy stałym ciśnieniu,

$C_{V}$ - ciepło molowe przy stałej objętości,

$R$ - stała gazowa.

Przekształcając powyższy wzór otrzymujemy:

$C_{p} - C_{V} = R | C_{V}$

$C_{p} = C_{V} + R$

Wracając do stosunku przyrostu temperatury mamy:

$\frac{Δ T _{2}}{Δ T _{1}} = \frac{C _{V}}{C _{p}}$

$\frac{Δ T _{2}}{Δ T _{1}} = \frac{C _{V}}{C _{V} + R}$

$\frac{Δ T _{2}}{Δ T _{1}} = \frac{\frac{3}{2} R}{\frac{3}{2} R + R}$

$\frac{Δ T _{2}}{Δ T _{1}} = \frac{\frac{3}{2} R}{\frac{3}{2} R + \frac{2}{2} R}$

$\frac{Δ T _{2}}{Δ T _{1}} = \frac{\frac{3}{2} R}{\frac{5}{2} R}$

$\frac{Δ T _{2}}{Δ T _{1}} = \frac{3}{2} : \frac{5}{2}$

$\frac{Δ T _{2}}{Δ T _{1}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{5}$

$\frac{Δ T _{2}}{Δ T _{1}} = \frac{3}{5}$

Widzimy więc, że przyrost temperatury w przemianie pierwszej jest większy niż w przemianie drugiej.

$Δ T_{2} < Δ T_{1}$

W przypadku przemiany przy stałym ciśnieniu potrzeba więcej energii, aby podwyższyć temperaturę, ponieważ w przemianie takiej większą wartość ma ciepło molowe:

$C_{p} = R + C_{V}$

$C_{p} = R + \frac{3}{2} R$

$C_{p} = \frac{5}{2} R$

Wynika to z tego, że w przemianie izochorycznej całe dostarczone ciepło jest przeznaczone na wzrost energii wewnętrznej (czyli zwiększenie temperatury), ponieważ objętość się nie zmienia zatem również praca nie jest wykonywana przez gaz.

Natomiast w przypadku przemiany izobarycznej część dostarczonego ciepła jest przeznaczona na wykonanie pracy przez gaz oraz zwiększenie jego energii wewnętrznej.

Odpowiedź:

Przyrosty temperatury gazu [...] spełniają relację A., ponieważ przyrost energii wewnętrznej gazu jest 2. większy w pierwszej przemianie.