Promień światła białego po przejściu...- Zadanie 5.2: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Uzasadnienie:

Aby zaszło całkowite wewnętrzne odbicie, kąt padania musi być większy od kąta granicznego:

$sin α_{g r} = \frac{n _{1}}{n _{2}}$

gdzie:

$α_{g r}$ - kąt graniczny,

$n_{1}$ - współczynnik załamania światła ośrodka, do którego światło przechodzi, czyli powietrza,

$n_{2}$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło pada, czyli szkła.

Ośrodkiem, do którego światło przechodzi jest powietrze, dlatego możemy przyjąć, że jego współczynnik załamania wynosi 1:

$sin α_{g r} = \frac{1}{n _{2}}$

Miarę kąta pod którym światło dostaje się do wnętrza pryzmatu oraz kąt załamania możemy obliczyć korzystając z rysunku:

gdzie:

$d_{1}, d_{2}$ - długości przyprostokątnych w trójkącie zawierającym kąt padania,

$d_{3}, d_{4}$ - długości przyprostokątnych w trójkącie zawierającym kąt załamania.

Odczytujemy długości odpowiednich odcinków, przyjmując jako jednostkę długość kratki:

$d_{1} = 8$

$d_{2} = 10$

$d_{3} = 6$

$d_{4} = 15$

Korzystamy z funkcji tangens:

$tan α_{1} = \frac{d _{1}}{d _{2}}$

$tan α_{2} = \frac{d _{3}}{d _{4}}$

Wstawiamy dane liczbowe:

$tan α_{1} = \frac{8}{10} = 0, 8$

$tan α_{2} = \frac{6}{15} = 0, 4$

Korzystając z kalkulatora naukowego lub tablic funkcji trygonometrycznych odczytujemy wartości kątów:

$α_{1} \approx 3 8^{\circ}$

$α_{2} \approx 2 2^{\circ}$

Korzystając z prawa załamania (prawo Snella) wiemy, że stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest dla dwóch danych ośrodków wielkością stałą, zwaną względnym współczynnikiem załamania ośrodka drugiego względem pierwszego:

$\frac{sin α _{1}}{sin α _{2}} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$

Wyznaczamy wzór na współczynnik załamania światła w szkle:

$\frac{sin α _{1}}{sin α _{2}} = \frac{n _{2}}{n _{1}} ∣ \cdot n_{1}$

$n_{2} = n_{1} \cdot \frac{sin α _{1}}{sin α _{2}}$

Wstawiamy uzyskane wyrażenie do wzoru na sinus kąta granicznego:

$sin α_{g r} = \frac{1}{n _{2}}$

$sin α_{g r} = \frac{1}{n _{1} \cdot \frac{s i n α _{1}}{s i n α _{2}}}$

$sin α_{g r} = \frac{sin α _{2}}{n _{1} sin α _{1}}$

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy wartości korzystając z kalkulatora naukowego lub tablic funkcji trygonometrycznych:

$sin α_{g r} = \frac{sin 2 2 ^{\circ}}{1 \cdot sin 3 8 ^{\circ}} \approx$

$\approx \frac{0 , 3746}{0 , 6157} \approx 0, 6$

Na podstawie wartości funkcji sinus odczytujemy wartość kąta granicznego:

$α_{g r} \approx 3 7^{\circ}$

Aby ustalić, czy zajdzie całkowite wewnętrzne odbicie, musimy wyznaczyć wartość kąta padania na drugą ściankę pryzmatu. Pryzmat ma przekrój w kształcie trójkąta równobocznego, stąd wiemy, że kąt przy wierzchołku C ma miarę 60°. Oznaczamy odpowiednie kąty na rysunku:

Korzystając z sumy kątów wewnętrznych trójkąta zapisujemy:

$6 0^{\circ} + (9 0^{\circ} - α_{2}) + (9 0^{\circ} - α_{3}) = 18 0^{\circ}$

$6 0^{\circ} + 9 0^{\circ} - α_{2} + 9 0^{\circ} - α_{3} = 18 0^{\circ}$

$α_{3} = 6 0^{\circ} - α_{2}$

Wstawiamy dane liczbowe:

$α_{3} = 6 0^{\circ} - 2 2^{\circ} = 3 8^{\circ}$

Porównujemy uzyskaną wartość kąta z wartością kąta granicznego:

$α_{3} > α_{g r}$

Odpowiedź:

Promień światła nie wyjdzie na zewnątrz pryzmatu, ponieważ pada na granicę ośrodków pod kątem większym od kąta granicznego, co oznacza, że nastąpi całkowite wewnętrzne odbicie promienia od powierzchni pryzmatu.