Dane:

$a=6\mathrm{au}\approx 8,98\cdot 10^{11}\mathrm{m}$

$M_G=2M_S$

$a_Z=1\mathrm{au}$

$T_Z=1\mathrm{rok}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała grawitacji: $G=6,67\cdot {10}^{-11}\text{N}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}$.

▶ masa Słońca: $M_{\text{S}}=1,988\cdot {10}^{30}\text{kg}$.

▶ przybliżona wartość liczby pi: $\pi =3,14$.

Szukane:

$T=?$

Rozwiązanie:

W ruchu ciała wokół gwiazdy siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej, dlatego możemy zapisać:

$F_{\text{g}}=F_{\text{d}}$

gdzie:

$F_{\text{g}}$ - wartość siły grawitacji,

$F_{\text{d}}$ - wartość siły dośrodkowej.

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami przedstawiamy wzorem:

$F_{\text{g}}=\frac{G{M}_G{m}_{}}{a^2}$ 

gdzie:

$G$ - stała grawitacji,

$M_G$ - masa gwiazdy,

$m$ - masa ciała niebieskiego, 

$a$ - półoś wielka orbity eliptycznej.

Wartość siły dośrodkowej możemy przedstawić wzorem:

$F_{\text{d}}=\frac{m{v}^2}{a}$ 

gdzie:

$F_{\text{d}}$ - wartość siły dośrodkowej działającej na ciało, 

$v$ - wartość prędkości liniowej ciała poruszającego się po okręgu.

Zależność szybkości liniowej od szybkości kątowej przedstawiamy wzorem:

$v=\omega a$ 

gdzie:

$\omega$ - szybkość kątowa.

Wartość prędkości kątowej ciała w ruchu po okręgu możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$ 

gdzie:

$\pi$ - liczba π, 

$T$ - okres ruchu tego ciała. 

Korzystając z powyższych wzorów zapisujemy:

$F_{\text{g}}=F_{\text{d}}$

$\frac{G{M}_G\cancel{m}}{a^2}=\frac{\cancel{m}{v}^2}{a}$

$\frac{G{M}_G}{a^2}=\frac{{\left(\omega a\right)}^2}{a}$

$\frac{G{M}_G}{a^2}=\frac{{\omega }^2{a}^{\cancel{2}}}{\cancel{a}}$

$\frac{G{M}_G}{a^2}={\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2\cdot a$

$\frac{G{M}_G}{a^2}=\frac{4{\pi }^{2}a}{T^2}$

Wymnażamy na krzyż:

$G{M}_G{T}^2=4{\pi }^2{a}^3|:G{M}_G$

$T^2=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{G{M}_G}|\sqrt{}$

$T=\sqrt{\frac{4{\pi }^2{a}^3}{G{M}_G}}$

Korzystamy z informacji z zadania na temat masy gwiazdy:

$T=\sqrt{\frac{\stackrel{2}{\cancel{4}}{\pi }^2{a}^3}{G\cancel{2}{M}_S}}$

$T=\sqrt{\frac{2{\pi }^2{a}^3}{G{M}_S}}$

Wstawiamy dane liczbowe:

$T=\sqrt{\frac{2\cdot 3,14^2\cdot {\left(8,98\cdot 10^{11}\mathrm{m}\right)}^3}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2}{\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{\cancel{2}}}\cdot 1,988\cdot {10}^{30}\cancel{\mathrm{kg}}}}\approx$ 

$\approx \sqrt{\frac{14279,7\cdot 10^{33}{\mathrm{m}}^{\cancel{3}}}{13,26\cdot 10^{19}\frac{\mathrm{N}\cdot \cancel{{\mathrm{m}}^2}}{\mathrm{kg}}}}\approx$

$\approx \sqrt{1076,9\cdot 10^{14}\frac{\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{N}}}\approx$

$\approx \sqrt{10,769\cdot 10^{16}\frac{\cancel{\mathrm{kg}}\cdot \cancel{\mathrm{m}}}{\cancel{\mathrm{kg}}\cdot \frac{\cancel{\mathrm{m}}}{{\mathrm{s}}^2}}}\approx$

$\approx 3,28\cdot 10^8\mathrm{s}$

Przeliczam wynik na lata ziemskie:

$T=3,28\cdot 10^8\mathrm{s}\approx 3796,3\mathrm{dni}\approx 10,4\mathrm{lat}$

Odpowiedź: Okres obiegu ciała dookoła gwiazdy wynosi około 10,4 lat ziemskich.