Dane:

$m=2\text{kg}$  

$t_p=-9^{\circ }\text{C}\text{, czyli }{T}_p=264\text{K}$  

$t=12,5\text{min}=750\text{s}$  

$P=2000\text{W}$  

$c_l=2100\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}$  

$c_w=4200\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}$  

$q_t=334\frac{\text{kJ}}{\text{kg}}=334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}$  

$\eta =80\%$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ temperatura topnienia lodu (śniegu): $t_0=0^{\circ }\text{C}$ , czyli $T_0=273\text{K}$ .

Szukane:

$t_{\text{w}}=?$  

Rozwiązanie: 

Szukamy temperatury wrzenia wody, jeżeli przyjmiemy, że sprawność kuchenki wynosiła 80%. Sprawność danego układu fizycznego możemy przedstawić jako iloraz pracy wykonanej przez układ do całkowitej energii jako dostarczono do tego układu. Wielkość tą podajemy w procentach, dlatego:

$\eta =\frac{Q_{\text{pobrane}}}{E_{\text{kuchenki}}}\cdot 100\%$  

gdzie:

$\eta$ - sprawność układu,

$Q_{\text{pobrane}}$  - praca wykonana przez układ (całkowite ciepło pobrane przez śnieg podgrzewany do temperatury wrzenia),  

$E_{\text{kuchenki}}$  - całkowita energia dostarczona do układu (energia elektryczna przekazana przez kuchenkę). 

Znamy moc kuchenki i czas jej pracy, dlatego energię przez nią dostarczoną możemy przedstawić wzorem:

$E_{\text{kuchenki}}=Pt$  

gdzie:

$P$  - moc kuchenki, 

$t$  - czas podgrzewania wody do temperatury wrzenia. 

Całkowite ciepło pobrane przez śnieg aż do ogrzania będzie sumą ciepła, jakie pobierze w czasie topnienia, następnie ciepła pobranego w czasie roztapiania oraz ciepła pobranego w czasie ogrzewania do temperatury wrzenia:

$Q_{\text{pobrane}}=Q_1+Q_2+Q_3$  

gdzie:

$Q_1$  - ciepło pobrane przez śnieg w czasie w czasie ogrzewania do temperatury topnienia lodu, 

$Q_2$  - ciepło  pobrane przez śnieg w czasie topnienia, 

$Q_3$  - ciepło pobrane przez wodę powstałą ze śniegu w czasie ogrzewania do temperatury wrzenia. 

W czasie ogrzewania śniegu do temperatury topnienia zmiana temperatury będzie miała postać:

$\Delta T_0=T_0-T_p$  

gdzie:

$\Delta T_0$  - zmiana temperatury śniegu, 

$T_0$  - temperatura początkowa śniegu, 

$T_p$  - temperatura topnienia śniegu. 

Ciepło pobrane przez śnieg w czasie ogrzewania będzie miało postać:

$Q_1=m{c}_l\Delta T_0$  

gdzie:

$m$  - masa śniegu, 

$c_l$  - ciepło właściwe śniegu (lodu).

Ciepło pobrane przez śnieg w czasie topnienia będzie miało postać:

$Q_2=m{q}_t$  

gdzie:

$q_t$  - ciepło topnienia lodu. 

W czasie ogrzewania wody powstałej ze śniegu do temperatury wrzenia zmiana temperatury będzie miała postać:

$\Delta T_w=T_w-T_0$  

gdzie:

$\Delta T_w$  - zmiana temperatury wody powstałej ze śniegu, 

$T_w$  - temperatura wrzenia wody.

Ciepło pobrane przez wodę powstałą ze śniegu w czasie ogrzewania do temperatury wrzenia będzie miało postać:

$Q_3=m{c}_w\Delta T_w$  

gdzie:

$c_w$  - ciepło właściwe wody.

Z powyższych zależności wynika, że temperaturę wrzenia wody możemy przedstawić wzorem:

$\eta =\frac{Q_{\text{pobrane}}}{E_{\text{kuchenki}}}\cdot 100\%\mid :100\%$  

$\frac{\eta }{100\%}=\frac{Q_{\text{pobrane}}}{E_{\text{kuchenki}}}$  

$\frac{\eta }{100\%}=\frac{Q_1+Q_2+Q_3}{Pt}\mid \cdot Pt$  

$\frac{\eta }{100\%}Pt=Q_1+Q_2+Q_3$  

$\frac{\eta }{100\%}Pt=m{c}_l\Delta T_0+m{q}_t+m{c}_w\Delta T_w\mid :m$  

$\frac{\eta }{100\%}\cdot \frac{Pt}{m}=c_l\left(T_0-T_p\right)+q_t+c_w\left(T_w-T_0\right)\mid -c_l\left(T_0-T_p\right)-q_t$  

$\frac{\eta }{100\%}\cdot \frac{Pt}{m}-c_l\left(T_0-T_p\right)-q_t=c_w\left(T_w-T_0\right)\mid :c_w$  

$\frac{\frac{\eta }{100\%}\cdot \frac{Pt}{m}-c_l\left(T_0-T_p\right)-q_t}{c_w}=T_w-T_0\mid +T_0$  

$\frac{\frac{\eta }{100\%}\cdot \frac{Pt}{m}-c_l\left(T_0-T_p\right)-q_t}{c_w}+T_0=T_w$  

$T_w=\frac{\frac{\eta }{100\%}\cdot \frac{Pt}{m}-c_l\left(T_0-T_p\right)-q_t}{c_w}+T_0$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T_w=\frac{\frac{80\%}{100\%}\cdot \frac{2000\text{W}\cdot 750\text{s}}{2\text{kg}}-2100\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot \left(273\text{K}-264\text{K}\right)-334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}}{4200\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}}+273\text{K}=$  

$=\frac{0,8\cdot \frac{1500000\text{W}\cdot \text{s}}{2\text{kg}}-2100\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot 9\text{K}-334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}}{4200\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}}+273\text{K}=$  

$=\frac{0,8\cdot \frac{1500000\text{J}}{2\text{kg}}-18900\frac{\text{J}}{\text{kg}}-334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}}{4200\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}}+273\text{K}=$  

$=\frac{0,8\cdot 750000\frac{\text{J}}{\text{kg}}-18900\frac{\text{J}}{\text{kg}}-334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}}{4200\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}}+273\text{K}=$  

$=\frac{600000\frac{\text{J}}{\text{kg}}-18900\frac{\text{J}}{\text{kg}}-334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}}{4200\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}}+273\text{K}=$  

$=\frac{247100\frac{\text{J}}{\text{kg}}}{4200\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}}+273\text{K}\approx 59\text{K}+273\text{K}\approx 332\mathrm{K}$  

Oznacza to, że:

$t_w\approx {\left(332-273\right)}^{\circ }\mathrm{C}\approx {59}^{\circ }\text{C}$  

Odpowiedź: Temperatura wrzenia wody wynosiła około 59ºC.