Na szpulkę o kształcie jednorodnego walca o momencie bezwładności...- Zadanie 2.4: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Siłomierz będzie wskazywał wartość siły naciągu taśmy papierowej, czyli szukamy:

$F_{N} = ?$

Korzystając z zależności wynikającej z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego wyprowadzonej w zadaniu 2.3. otrzymamy, że:

$ε = \frac{r \times F _{N}}{\frac{m _{s} r ^{2}}{2}}$

gdzie:

$ε$ - przyspieszenie kątowego szpulki,

$r$ - wektor ramienia siły (w tym przypadku jego długość odpowiada promieniowi szpulki),

$F_{N}$ - siła naciągu taśmy papierowej.

$m_{s}$ - masa szpulki,

Zauważmy, że ramię siły jest prostopadłe do wektora siły naciągu. Wówczas iloczyn wektorowy dla wektora ramienia siły oraz wartości siły naciągu będzie miał postać:

$r \times F_{N} = r F_{N}$

Wówczas wartość przyspieszenia kątowego możemy przedstawić wzorem:

$ε = \frac{r F _{N}}{\frac{m _{s} r ^{2}}{2}}$

$ε = \frac{2 r F _{N}}{m _{s} r ^{2}}$

$ε = \frac{2 F _{N}}{m _{s} r}$

Wartość przyspieszenia kątowego ciała w zależności od przyspieszenia liniowego ma postać:

$ε = \frac{a}{r}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia liniowego w danym punkcie ciała,

$r$ - promień okręgu, po jakim porusza się rozważany punkt tego ciała.

Korzystając z zależności wynikającej z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu postępowego wyprowadzonej w zadaniu 2.2. otrzymamy, że:

$a = \frac{F _{c} + F _{N}}{m _{s}}$

gdzie:

$a$ - przyspieszenie liniowe szpulki,

$F_{c}$ - siła ciężkości działająca na szpulkę.

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_{c} = m g$

gdzie:

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Siła naciągu jest zwrócona przeciwnie do siły ciężkości, a układ (szpulka) porusza się zgodnie ze zwrotem siły ciężkości. Oznacza to, że wartość przyspieszenia liniowego szpulki możemy przedstawić wzorem:

$a = \frac{F _{c} - F _{N}}{m _{s}}$