Blok lodu o temperaturze...- Zadanie 7.2: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$t_{l} = - 5^{\circ} C, czyli T_{l} = 268 K$

$t_{w} = 5 5^{\circ} C, czyli T_{w} = 328 K$

$t_{0} = 0^{\circ} C, czyli T_{0} = 273 K$

$m_{l} = 430 g = 0, 43 kg$

$m_{w} = 1500 g = 1, 5 kg$

$Q_{o} = 60 kJ$

$c_{l} = 2050 \frac{J}{kg \cdot K}$

$L = 334 \frac{kJ}{kg}$

$c_{w} = 4200 \frac{J}{kg \cdot K}$

Szukane:

$T = ?$

Rozwiązanie:

Gorąca woda będzie wyłącznie oddawać ciepło, co spowoduje obniżenie jej temperatury, natomiast lód pobierze ciepło z wody na podwyższenie swojej temperatury, następnie roztopienie, a woda powstała z lodu ogrzeje się do tej samej temperatury, do której schłodzi się gorąca woda. Dodatkowo część ciepła z układu zostanie oddana do otoczenia jako straty. Uwzględniając straty ciepła możemy zapisać bilans cieplny dla układu:

$Q_{1} = Q_{2} + Q_{3} + Q_{4} + Q_{s}$

gdzie:

$Q_{1}$ - ciepło oddane przez wodę przy obniżaniu temperatury,

$Q_{2}$ - ciepło pobrane przez lód przy zwiększaniu temperatury,

$Q_{3}$ - ciepło pobrane przez lód przy topnieniu,

$Q_{4}$ - ciepło pobrane przez wodę powstałą z lodu przy ogrzewaniu,

$Q_{s}$ - ciepło pobrane do otoczenia jako straty.

Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury ciała wyraża się wzorem:

$Q = m c Δ T$

gdzie:

$Q$ - ciepło oddane lub pobrane przez ciało,

$m$ - masa ciała,

$c$ - ciepło właściwe substancji, z której wykonano ciało,

$Δ T$ - zmiana temperatury ciała.

Ilość ciepła potrzebna do zmiany stanu skupienia ze stałego na ciekły wyraża się wzorem:

$Q_{t} = m L$

gdzie:

$Q_{t}$ - ciepło potrzebne do stopienia lodu,

$L$ - ciepło topnienia lodu.

Korzystając z powyższych wzorów zapisujemy bilans cieplny:

$m_{w} c_{w} (T_{w} - T) = m_{l} c_{l} (T_{0} - T_{l}) + m_{l} L + m_{l} c_{w} (T - T_{0}) + Q_{s}$

gdzie:

$m_{w}$ - masa wody,

$c_{w}$ - ciepło właściwe wody,

$T_{w}$ - początkowa temperatura wody,

$T$ - temperatura po ustaleniu wspólnej temperatury całego układu,

$m_{l}$ - masa lodu (oraz wody powstałej ze stopionego lodu),

$c_{l}$ - ciepło właściwe lodu,

$T_{0}$ - temperatura topnienia lodu,

$T_{l}$ - temperatura początkowa lodu.

Przekształcamy wyrażenie do wzoru na temperaturę końcową układu:

$m_{w} c_{w} T_{w} - m_{w} c_{w} T = m_{l} c_{l} T_{0} - m_{l} c_{l} T_{l} + m_{l} L + m_{l} c_{w} T - m_{l} c_{w} T_{0} + Q_{s}$

$m_{w} c_{w} T + m_{l} c_{w} T = m_{w} c_{w} T_{w} - m_{l} c_{l} T_{0} + m_{l} c_{l} T_{l} - m_{l} L + m_{l} c_{w} T_{0} - Q_{s}$

$T (m_{w} c_{w} + m_{l} c_{w}) = m_{w} c_{w} T_{w} - m_{l} c_{l} T_{0} + m_{l} c_{l} T_{l} - m_{l} L + m_{l} c_{w} T_{0} - Q_{s} ∣ : (m_{w} c_{w} + m_{l} c_{w})$

$T = \frac{m _{w} c _{w} T _{w} - m _{l} c _{l} T _{0} + m _{l} c _{l} T _{l} - m _{l} L + m _{l} c _{w} T _{0} - Q _{s}}{m _{w} c _{w} + m _{l} c _{w}}$

$T = \frac{m _{w} c _{w} T _{w} - m _{l} ( c _{l} T _{0} - c _{l} T _{l} + L - c _{w} T _{0} ) - Q _{s}}{c _{w} ( m _{w} + m _{l} )}$

Wstawiamy dane liczbowe:

$T = \frac{1 , 5 kg \cdot 4 200 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 328 K - 0 , 43 kg \cdot ( 2 050 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 273 K - 2 050 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 268 K + 334 000 \frac{J}{kg} - 4 200 \cdot 273 K ) - 60 000 J}{4 200 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot ( 1 , 5 kg + 0 , 43 kg )} =$

$= \frac{2 066 400 J - 0 , 43 kg \cdot ( 559 650 \frac{J}{kg} - 549 400 \frac{J}{kg} + 334 000 \frac{J}{kg} - 1 146 600 \frac{J}{kg} ) - 60 000 J}{4 200 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 1 , 93 kg} =$