Himalaista podczas wyprawy wysokogórskiej przygotowywał sobie ciepły...- Zadanie 4.1: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$m = 2 kg$

$t_{p} = - 9^{\circ} C, czyli T_{p} = 264 K$

$t = 12, 5 min = 750 s$

$P = 2000 W$

$c_{l} = 2100 \frac{J}{kg \cdot K}$

$c_{w} = 4200 \frac{J}{kg \cdot K}$

$q_{t} = 334 \frac{kJ}{kg} = 334000 \frac{J}{kg}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ temperatura topnienia lodu (śniegu): $t_{0} = 0^{\circ} C$ , czyli $T_{0} = 273 K$ .

Szukane:

$p_{h} = ?$

Rozwiązanie:

Szukamy ciśnienia powietrza na wysokości, na jakiej biwakował himalaista. W zadaniu podany mamy wykres zależności temperatury wrzenia wody od ciśnienia. W zależności od zmiany wysokości zmienia się również ciśnienie oraz temperatura wrzenia wody. Zatem, aby wyznaczyć ciśnienie musimy wcześniej wyznaczyć temperaturę wrzenia wody. Zakładamy, że kuchenka przekazuje całą energię na przygotowanie posiłku:

$E_{kuchenki} = Q_{pobrane}$

gdzie:

$E_{kuchenki}$ - energia elektryczna przekazana przez kuchenkę,

$Q_{pobrane}$ - całkowite ciepło pobrane przez śnieg podgrzewany do temperatury wrzenia.

Znamy moc kuchenki i czas jej pracy, dlatego energię przez nią dostarczoną możemy przedstawić wzorem:

$E_{kuchenki} = P t$

gdzie:

$P$ - moc kuchenki,

$t$ - czas podgrzewania wody do temperatury wrzenia.

Pomijamy straty energii podczas ogrzewania wody. Wówczas całkowite ciepło pobrane przez śnieg aż do ogrzania będzie sumą ciepła, jakie pobierze w czasie topnienia, następnie ciepła pobranego w czasie roztapiania oraz ciepła pobranego w czasie ogrzewania do temperatury wrzenia:

$Q_{pobrane} = Q_{1} + Q_{2} + Q_{3}$

gdzie:

$Q_{1}$ - ciepło pobrane przez śnieg w czasie w czasie ogrzewania do temperatury topnienia lodu,

$Q_{2}$ - ciepło pobrane przez śnieg w czasie topnienia,

$Q_{3}$ - ciepło pobrane przez wodę powstałą ze śniegu w czasie ogrzewania do temperatury wrzenia.

W czasie ogrzewania śniegu do temperatury topnienia zmiana temperatury będzie miała postać:

$Δ T_{0} = T_{0} - T_{p}$

gdzie:

$Δ T_{0}$ - zmiana temperatury śniegu,

$T_{0}$ - temperatura początkowa śniegu,

$T_{p}$ - temperatura topnienia śniegu.

Ciepło pobrane przez śnieg w czasie ogrzewania będzie miało postać:

$Q_{1} = m c_{l} Δ T_{0}$

gdzie:

$m$ - masa śniegu,

$c_{l}$ - ciepło właściwe śniegu (lodu).

Ciepło pobrane przez śnieg w czasie topnienia będzie miało postać:

$Q_{2} = m q_{t}$

gdzie:

$q_{t}$ - ciepło topnienia lodu.

W czasie ogrzewania wody powstałej ze śniegu do temperatury wrzenia zmiana temperatury będzie miała postać:

$Δ T_{w} = T_{w} - T_{0}$

gdzie:

$Δ T_{w}$ - zmiana temperatury wody powstałej ze śniegu,

$T_{w}$ - temperatura wrzenia wody.

Ciepło pobrane przez wodę powstałą ze śniegu w czasie ogrzewania do temperatury wrzenia będzie miało postać:

$Q_{3} = m c_{w} Δ T_{w}$

gdzie:

$c_{w}$ - ciepło właściwe wody.

Z powyższych zależności wynika, że temperatura wrzenia wody będzie miała postać:

$E_{kuchenki} = Q_{pobrane}$

$P t = Q_{1} + Q_{2} + Q_{3}$

$P t = m c_{l} Δ T_{0} + m q_{t} + m c_{w} Δ T_{w}$

$P t = m c_{l} (T_{0} - T_{p}) + m q_{t} + m c_{w} (T_{w} - T_{0})$

$P t = m c_{l} (T_{0} - T_{p}) + m q_{t} + m c_{w} T_{w} - m c_{w} T_{0} ∣ + m c_{w} T_{0} - m c_{l} (T_{0} - T_{p}) - m q_{t}$

$P t + m c_{w} T_{0} - m c_{l} (T_{0} - T_{p}) - m q_{t} = m c_{w} T_{w}$

$P t + m [c_{w} T_{0} - c_{l} (T_{0} - T_{p}) - q_{t}] = m c_{w} T_{w} ∣ : m c_{w}$

$\frac{P t + m [ c _{w} T _{0} - c _{l} ( T _{0} - T _{p} ) - q _{t} ]}{m c _{w}} = T_{w}$

$T_{w} = \frac{P t + m [ c _{w} T _{0} - c _{l} ( T _{0} - T _{p} ) - q _{t} ]}{m c _{w}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T_{w} = \frac{2 000 W \cdot 750 s + 2 kg \cdot [ 4 200 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 273 K - 2 100 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot ( 273 K - 264 K ) - 334 000 \frac{J}{kg} ]}{2 kg \cdot 4 200 \frac{J}{kg \cdot K}} =$

$= \frac{1 500 000 W \cdot s + 2 kg \cdot [ 1 146 600 \frac{J}{kg} - 2 100 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 9 K - 334 000 \frac{J}{kg} ]}{8 400 \frac{J}{K}} =$