Jeżeli rozważymy sobie pewną planetę o masie  $m$  poruszającą się po orbicie kołowej wokół pewnego ciała o masie  $M$  to w ruchu takim rolę siłę dośrodkowej pełni siła grawitacji.

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami przedstawiamy wzorem:

$F_{\text{g}}=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$  

gdzie:

$F_{\text{g}}$   - wartość siły grawitacji,

$G$  - stała grawitacji,

$m_1$  i $m_2$  - masy oddziałujących ze sobą ciał,

$r$  - odległość pomiędzy środkami tych mas.

W naszym przypadku wartość tej siły przyjmuję postać:

$F_g=\frac{GMm}{r^2}$  

Odległość pomiędzy środkami tych mas w ruchu po okręgu jest równa promieniowi tego okręgu.

 

Wartość siły dośrodkowej opisuje wzór:

$F_d=\frac{m{v}^2}{r}$  

gdzie:

$F_d$ - wartość siły dośrodkowej,

$m$  - masa ciała,

$v$  - wartość prędkości,

$r$  - promień okręgu.

W ruchu po orbicie kołowej siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej zatem zapisujemy:

$F_g=F_d$  

$\frac{GMm}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}\text{| : }m$  

$\frac{GM}{r^2}=\frac{v^2}{r}\text{|}\cdot r$  

$\frac{GM}{r}=v^2$  

Wartość prędkości w ruchu po okręgu opisuje wzór:

$v=\frac{2\pi r}{T}$  

gdzie:

$r$  - promień okręgu,

$T$  - okres ruchu po okręgu.

Wracając do wcześniejszych rozważań mamy:

$\frac{GM}{r}=v^2$  

$\frac{GM}{r}={\left(\frac{2\pi r}{T}\right)}^2$  

$\frac{GM}{r}=\frac{{\left(2\pi r\right)}^2}{T^2}$  

$\frac{GM}{r}=\frac{2^2{\pi }^2{r}^2}{T^2}$  

$\frac{GM}{r}=\frac{4{\pi }^2{r}^2}{T^2}$  

Przekształcając wzór otrzymamy:

$\frac{GM}{r}=\frac{4{\pi }^2{r}^2}{T^2}\text{|}\cdot r$  

$GM=\frac{4{\pi }^2{r}^3}{T^2}\text{| : }G$  

$M=\frac{4{\pi }^2{r}^3}{T^{2}G}$  

Mamy więc wzór na masę ciała  $M$  wokół, którego obraca się ciało  $m$  z okresem  $T$  oraz w odległości  $r$  .

Załóżmy, że mamy dwa takie centra grawitacyjne  $M_1$  oraz  $M_2$  wokół, których obraca się odpowiednio obiekt  $m_1$  z okresem  $T_1$  oraz w odległości  $r_1$  oraz obiekt  $m_2$  z okresem  $T_2$  w odległości  $r_2$  .

Mamy więc:

▶ Wzór na masę  $M_1$  centrum grawitacyjnego wokół którego obraca się ciało  $m_1$  z okresem  $T_1$  oraz w odległości  $r_1$  

$M_1=\frac{4{\pi }^2{r}_1^3}{T_1^{2}G}$  

▶ Wzór na masę  $M_2$  centrum grawitacyjnego wokół którego obraca się ciało  $m_2$  z okresem  $T_2$  oraz w odległości  $r_2$  

$M_2=\frac{4{\pi }^2{r}_2^3}{T_2^{2}G}$  

Wyznaczmy stosunek tych mas:

$\frac{M_1}{M_2}=\frac{\frac{4{\pi }^2{r}_1^3}{T_1^{2}G}}{\frac{4{\pi }^2{r}_2^3}{T_2^{2}G}}$  

$\frac{M_1}{M_2}=\frac{4{\pi }^2{r}_1^3}{T_1^{2}G}:\frac{4{\pi }^2{r}_2^3}{T_2^{2}G}$  

$\frac{M_1}{M_2}=\frac{4{\pi }^2{r}_1^3}{T_1^{2}G}\cdot \frac{T_2^{2}G}{4{\pi }^2{r}_2^3}$  

$\frac{M_1}{M_2}=\frac{\cancel{4{\pi }^2}{r}_1^3}{T_1^{2}G}\cdot \frac{T_2^{2}G}{\cancel{4{\pi }^2}{r}_2^3}$   

$\frac{M_1}{M_2}=\frac{r_1^3}{T_1^2\cancel{G}}\cdot \frac{T_2^2\cancel{G}}{r_2^3}$   

$\frac{M_1}{M_2}=\frac{r_1^3}{T_1^2}\cdot \frac{T_2^2}{r_2^3}$   

$\frac{M_1}{M_2}=\frac{r_1^3}{r_2^3}\cdot \frac{T_2^2}{T_1^2}$  

  $\frac{M_1}{M_2}={\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^3\cdot {\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^2$  

Zamieniając oznaczenie:

$r_1=a_1$  

$r_2=a_2$  

Otrzymamy to co mieliśmy wykazać:

  $\frac{M_1}{M_2}={\left(\frac{a_1}{a_2}\right)}^3\cdot {\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^2$