Oblicz temperaturę końcową napoju z kostkami...- Zadanie 8: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$m_{n} = 200 g = 0, 2 kg$

$c_{w_{n}} = 4190 \frac{J}{kg \cdot ^{\circ} C}$

$T_{1} = 20^{\circ} C$

$m_{k} = 135 g = 0, 135 kg$

$c_{w_{k}} = 800 \frac{J}{kg \cdot ^{\circ} C}$

$T_{2} = - 15^{\circ} C$

Szukane:

$T_{k} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie temperatury końcowej napoju. Zgodnie z treścią zadania mamy podaną sytuację, w której do ochłodzenia napoju wrzucono kostki do chłodzenia. Jeżeli więc temperatura napoju była większa od temperatury kostek to do ustalenia się temperatury końcowej $T_{k}$ ciepło $Q_{o d d}$ zostało oddane do kostek. Ilość ciepła jakie oddał napój opisuje wzór:

$Q_{o d d} = m_{n} c_{w_{n}} Δ T_{1}$

gdzie:

$Q_{o d d}$ - ciepło oddane przez napój,

$m_{n}$ - masa napoju,

$c_{w_{n}}$ - ciepło właściwe napoju,

$Δ T_{1}$ - zmiana temperatury napoju.

Wzór na zmianę temperatury przyjmuje postać:

$Δ T_{1} = T_{1} - T_{k}$

gdzie:

$T_{1}$ - temperatura początkowa,

$T_{k}$ - temperatura końcowa.

Jednocześnie kostki pobrały ciepło. Ilość pobranego przez kostki ciepło opisuje wzór:

$Q_{p o b r} = m_{k} c_{w_{k}} Δ T_{2}$

gdzie:

$Q_{p o b r}$ - ciepło oddane przez napój,

$m_{k}$ - masa kostek,

$c_{w_{k}}$ - ciepło właściwe kostek,

$Δ T_{2}$ - zmiana temperatury kostek.

Wzór na zmianę temperatury przyjmuje postać:

$Δ T_{2} = T_{k} - T_{2}$

gdzie:

$T_{2}$ - temperatura początkowa,

$T_{k}$ - temperatura końcowa.

Jednakże ilość energii pobranej oraz oddanej jest taka sama. Zapisujemy więc bilans energetyczny:

$Q_{p o b r} = Q_{o d d}$

$m_{k} c_{w_{k}} Δ T_{2} = m_{n} c_{w_{n}} Δ T_{1}$

$m_{k} c_{w_{k}} (T_{k} - T_{2}) = m_{n} c_{w_{n}} (T_{1} - T_{k})$

$m_{k} c_{w_{k}} T_{k} - m_{k} c_{w_{k}} T_{2} = m_{n} c_{w_{n}} T_{1} - m_{n} c_{w_{n}} T_{k}$

$m_{k} c_{w_{k}} T_{k} - m_{k} c_{w_{k}} T_{2} = m_{n} c_{w_{n}} T_{1} - m_{n} c_{w_{n}} T_{k} | + m_{n} c_{w_{n}} T_{k}$

$m_{k} c_{w_{k}} T_{k} + m_{n} c_{w_{n}} T_{k} - m_{k} c_{w_{k}} T_{2} = m_{n} c_{w_{n}} T_{1} | + m_{k} c_{w_{k}} T_{2}$

$m_{n} c_{w_{n}} T_{k} + m_{n} c_{w_{n}} T_{k} = m_{n} c_{w_{n}} T_{1} + m_{n} c_{w_{n}} T_{2}$

$(m_{n} c_{w_{n}} + m_{n} c_{w_{n}}) T_{k} = m_{n} c_{w_{n}} T_{1} + m_{n} c_{w_{n}} T_{2} | : (m_{n} c_{w_{n}} + m_{n} c_{w_{n}})$

$T_{k} = \frac{m _{n} c _{w_{n}} T _{1} + m _{n} c _{w_{n}} T _{2}}{m _{n} c _{w_{n}} + m _{n} c _{w_{n}}}$

Wstawiamy dane i obliczamy:

$T_{k} = \frac{0 , 2 kg \cdot 4190 \frac{J}{kg \cdot ^{\circ} C} \cdot 20 ^{\circ} C + 0 , 135 kg \cdot 800 \frac{J}{kg \cdot ^{\circ} C} \cdot ( - 15 ) ^{\circ} C}{0 , 2 kg \cdot 4190 \frac{J}{kg \cdot ^{\circ} C} + 0 , 135 kg \cdot 800 \frac{J}{kg \cdot ^{\circ} C}} =$

$= \frac{0 , 2 \cdot 4190 \cdot 20 + 0 , 135 \cdot 800 \cdot ( - 15 )}{0 , 2 \cdot 4190 + 0 , 135 \cdot 800} \frac{kg \cdot \frac{J}{kg \cdot ^{\circ} C} \cdot ^{\circ} C}{kg \cdot \frac{J}{kg \cdot ^{\circ} C}} =$