Uzasadnienie: 

W czasie poślizgu ruch postępowy walca jest ruchem jednostajnie przyspieszonym, zachodzącym pod wpływem siły tarcia. Ruch obrotowy walca jest natomiast ruchem jednostajnie opóźnionym z malejącą prędkością kątową, w którym siła tarcia stanowi wypadkowy moment siły działający na ten walec. Do momentu ustania poślizgu, przyspieszenia linowego i kątowego nie łączą zależności typowe dla ruchu po okręgu. 

Korzystając z definicji przyspieszenia wiemy, że jego wartość możemy obliczyć wzorem:

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$  

gdzie:

$a$  - wartość przyspieszenia ciała,

$\Delta v$  - zmiana szybkości ciała,

$\Delta t$  - czas w jakim zmienia się szybkość.

W przypadku z zadania walec w chwili rozpoczęcia ruchu miał zerową szybkość liniową, dlatego możemy przyjąć:

$\Delta v=v_1$  

gdzie:

$v_1$  - wartość prędkości liniowej walca w momencie ustania poślizgu.

Rozpatrujemy ruch od momentu rozpoczęcia jego trwania, więc:

$\Delta t=t_1$  

gdzie:

$t_1$  - czas, po którym ustał poślizg walca.

Korzystając z powyższych informacji możemy zapisać wzór na czas trwania ruchu z poślizgiem:

$t_1=\frac{v_1}{a}$  

Wartość prędkości kątowej w ruchu obrotowym jednostajnie opóźnionym wyraża się wzorem:

${\omega }_1={\omega }_0-\epsilon t_1$

gdzie:

${\omega }_1$ - szybkość kątowa w momencie ustania poślizgu,

${\omega }_0$ - szybkość kątowa w momencie rozpoczęcia ruchu,

$\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego bryły sztywnej.

Wstawiamy do równania wyznaczone wcześniej wyrażenie na czas:

${\omega }_1={\omega }_0-\epsilon t_1$ 

${\omega }_1={\omega }_0-\epsilon \frac{v_1}{a}$

Po ustaniu poślizgu  zależność szybkości liniowej od szybkości kątowej możemy przedstawić wzorem:

$v_1={\omega }_{1}r$ 

gdzie: 

$r$ - promień okręgu, po którym porusza się to ciało (w tym przypadku promień walca). 

Wstawiamy powyższą zależność do wzoru na szybkość kątową:

${\omega }_1={\omega }_0-\epsilon \frac{v_1}{a}$

 ${\omega }_1={\omega }_0-\epsilon \frac{{\omega }_{1}r}{a}$

Aby wyznaczyć stosunek szybkości kątowych dzielimy obustronnie przez ${\omega }_0$:

${\omega }_1={\omega }_0-\epsilon \frac{{\omega }_{1}r}{a}|:{\omega }_0$

$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_0}=1-\frac{\epsilon r}{a}\cdot \frac{{\omega }_1}{{\omega }_0}$

$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_0}+\frac{\epsilon r}{a}\cdot \frac{{\omega }_1}{{\omega }_0}=1$

$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_0}(1+\frac{\epsilon r}{a})=1|:(1+\frac{\epsilon r}{a})$

$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_0}=\frac{1}{1+\frac{\epsilon r}{a}}$

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wiemy, że przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły wypadkowej działającej na to ciało. Wartość siły wypadkowej działającej na ciało możemy przedstawić wzorem:

$F_{\text{wyp.}}=ma$ 

gdzie:

$F_{\text{wyp.}}$ - wartość siły wypadkowej,

$m$ - masa ciała, 

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim układ się porusza. 

Zapisujemy drugą zasadę dynamiki Newtona dla ruchu postępowego:

$T=ma$

gdzie:

$T$ - wartość siły tarcia kinetycznego.

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymujemy:

$I\epsilon =M$ 

gdzie:

$I$ - moment bezwładności układu bryły sztywnej wykonującej ruch obrotowy, 

$M$ - wartość wypadkowego momentu sił działających na te układ.

Moment bezwładności jednorodnego walca obracającego się względem swojej osi symetrii ma postać:

$I=\frac{1}{2}m{r}^2$  

Wartość momentu siły obracającej się bryły sztywnej dla przypadku, gdy siła jest prostopadła do ramienia odległości od osi obrotu możemy przedstawić wzorem:

$M=rT$ 

gdzie:

$M$ - wartość momentu siły bryły sztywnej,

$T$ - wartość siły działającej na bryłę sztywną.

Korzystając z powyższych wzorów możemy zapisać:

$I\epsilon =M$

$\frac{1}{2}m{r}^{\cancel{2}}\epsilon =\cancel{r}T$ 

Korzystamy z podanej wcześniej drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu postępowego, a następnie wyznaczamy wyrażenie na wartość przyspieszenia :

$T=ma$

 $\frac{1}{2}\cancel{m}r\epsilon =\cancel{m}a$

 $a=\frac{1}{2}\epsilon r$

Wstawiamy uzyskane wyrażenie do wzoru na stosunek szybkości kątowych:

$\frac{{\omega }_1}{{\omega }_0}=\frac{1}{1+\frac{\epsilon r}{a}}$

 $\frac{{\omega }_1}{{\omega }_0}=\frac{1}{1+\frac{\cancel{\epsilon }\cancel{r}}{\frac{1}{2}\cancel{\epsilon }\cancel{r}}}$

 $\frac{{\omega }_1}{{\omega }_0}=\frac{1}{1+2}$

 $\frac{{\omega }_1}{{\omega }_0}=\frac{1}{3}$

 Odpowiedź: 

Wartość liczbowa ilorazu prędkości kątowych $\frac{{\omega }_1}{{\omega }_0}$ wynosi $\frac{1}{3}$.