Dane:

$s=10080\text{m}$  

$v_{\text{sˊr}}=57,6\frac{\text{km}}{\text{h}}=16\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$\Delta t_1=2\text{min}=120\text{s}$  

$\Delta t_3=150\text{s}$  

$\Delta t_1\text{:}\Delta t_2\text{:}\Delta t_3=1\text{:}3\text{:}1,25$  

Szukane:

$v_{\text{max}}=?$   

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości prędkości pociągu w czasie ruchu jednostajnego. Znamy całkowitą drogę, jaką przebył pociąg. Możemy ją zapisać jako sumę dróg na poszczególnych etapach:

$s=s_1+s_2+s_3$  

gdzie:

$s$  - całkowita droga przebyta przez pociąg, 

$s_1$  - droga przebyta przez pociąg w czasie rozpędzania, 

$s_2$  - droga przebyta przez pociąg w czasie ruchu jednostajnego, 

$s_3$  - droga przebyta przez pociąg w czasie hamowania. 

Rozważmy poszczególne etapy i wyznaczmy drogi przebyte przez pociąg w ich czasie. 

▶ Etap 1: pociąg rozpędza się.

W czasie rozpędzania początkowa szybkość pociągu jest zerowa. Oznacza to, że drogę przebytą wówczas przez pociąg możemy przedstawić wzorem:

$s_1=\frac{1}{2}{a}_r\Delta t_1^2$  

gdzie:

$a_r$  - wartość przyspieszenia, z jakim rozpędza się pociąg, 

$\Delta t_1$  - czas w jakim rozpędza się pociąg.

Korzystając z definicji przyspieszenia możemy zapisać, że dla tego przypadku jego wartość wynosi:

$a_r=\frac{v_{\text{max}}}{\Delta t_1}$  

gdzie:

$v_{\text{max}}$  - szybkość jaką osiągnęło ciało na końcu rozpędzania, która odpowiada zmianie szybkości na tym etapie ruchu, 

$\Delta t_1$  - czas, w jakim pociąg rozpędzał się.

Otrzymamy wówczas, że:

$s_1=\frac{1}{2}{a}_r\Delta t_1^2$  

$s_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{v_{\text{max}}}{\Delta t_1}\cdot \Delta t_1^2$  

$s_1=\frac{1}{2}{v}_{\text{max}}\Delta t_1$  

▶ Etap 2: pociąg porusza się ruchem jednostajnym. 

Wówczas droga przebyta przez pociąg wynika ze wzoru na szybkość w ruchu jednostajnym:

$s_2=v_{\text{max}}\Delta t_2$  

gdzie:

$v_{\text{max}}$  - szybkość pociągu w ruchu jednostajnym, 

$\Delta t_2$  - czas w jakim pociąg poruszał się ruchem jednostajnym. 

Ze stosunku czasów podanych w zadaniu 1.1 wiemy, że:

$\Delta t_2=3\Delta t_1$  

Wówczas:

$s_2=v_{\text{max}}\Delta t_2$  

$s_2=v_{\text{max}}\cdot 3\Delta t_1$  

$s_2=3v_{\text{max}}\Delta t_1$  

▶ Etap 3: pociąg hamuje. 

Końcowa wartość prędkości pociągu jest w tym przypadku zerowa, czyli wartość opóźnienia z jakim porusza się pociąg ma postać:

$a_h=\frac{v_{\text{max}}}{\Delta t_3}$  

gdzie:

$a_h$  - wartość przyspieszenia hamującego pociąg, 

$v_{\text{max}}$  - szybkość początkowa pociągu od jakiej zaczął hamować, która odpowiada zmianie szybkości pociągu na tym etapie ruchu, 

$t_3$  - czas hamowania pociągu.

Ze stosunku czasów podanych w zadaniu 1.1 wiemy, że:

$\Delta t_3=1,25\Delta t_1$  

Droga przebyta przez pociąg w czasie hamowania będzie miała postać:

$s_3=v_{\text{max}}\Delta t_3-\frac{1}{2}{a}_h\Delta t_3^2$  

$s_3=v_{\text{max}}\Delta t_3-\frac{1}{2}\cdot \frac{v_{\text{max}}}{\Delta t_3}\cdot \Delta t_3^2$  

$s_3=v_{\text{max}}\Delta t_3-\frac{1}{2}{v}_{\text{max}}\Delta t_3$  

$s_3=\frac{1}{2}{v}_{\text{max}}\Delta t_3$  

$s_3=\frac{1}{2}{v}_{\text{max}}\cdot 1,25\Delta t_1$  

$s_3=\frac{1}{2}{v}_{\text{max}}\cdot \frac{5}{4}\Delta t_1$  

$s_3=\frac{5}{8}{v}_{\text{max}}\Delta t_1$  

Korzystając z sumy dróg przebytych przez pociąg na poszczególnych etapach wyznaczmy wartość prędkości pociągu w czasie ruchu jednostajnego:

$s_1+s_2+s_3=s$  

$\frac{1}{2}{v}_{\text{max}}\Delta t_1+3v_{\text{max}}\Delta t_1+\frac{5}{8}{v}_{\text{max}}\Delta t_1=s\mid \cdot 8$  

$4v_{\text{max}}\Delta t_1+24v_{\text{max}}\Delta t_1+5v_{\text{max}}\Delta t_1=8s$  

$33v_{\text{max}}\Delta t_1=8s\mid :33\Delta t_1$  

$v_{\text{max}}=\frac{8s}{33\Delta t_1}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{\text{max}}=\frac{8\cdot \stackrel{84}{\sout{10080}}\text{m}}{33\cdot \underset{1}{\sout{120}}\text{s}}=\frac{672}{33}\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 20,4\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Odpowiedź: Wartość prędkości pociągu w czasie ruchu jednostajnego wynosiła około 20,4 m/s.