Dane:

$k=10\frac{\text{N}}{\text{m}}$  

▶ Z wykresu odczytujemy, że maksymalne wychylenie (amplituda) sprężyny wynosi:

$A=5\text{cm}=0,05\text{m}$  

▶ Z rozwiązania zadania 5.1 wiemy, że częstość drgań wynosi:

$\omega =3,14\frac{\text{rad}}{\text{s}}$  

Szukane:

$v_{\max }=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie maksymalnej wartości prędkości ciężarka. Energię całkowitą w ruchu drgającym możemy podzielić na dwie składowe:

$E_c=E_k+E_p$  

gdzie:

$E_c$ - energia całkowita,

$E_k$  - energia kinetyczna,

$E_p$  - energia potencjalna sprężystości.

Z drugiej strony całkowita energię w ruchu drgającym wyznaczymy z zależności:

$E_c=\frac{1}{2}k{A}^2$  

gdzie:

$k$  - współczynnik sprężystości, 

$A$  - amplituda drgań ciała.

Wiemy, że w momencie przekroczenia położenia równowagi energia sprężystości sprężyny wynosi zero, natomiast energia kinetyczna jest maksymalna, czyli równa całkowitej energii. Możemy więc zapisać, że:

$E_{k_{\max }}=E_c$  

Energia kinetyczna jest dana wzorem:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie:

$m$  - masa ciała,

$v$  - wartość prędkości.

Wówczas mamy:

$E_{k_{\max }}=E_c$  

$\frac{m{v}_{\max }^2}{2}=E_c|\cdot 2$  

$m{v}_{\max }^2=2E_c|:m$  

$v_{\max }^2=\frac{2E_c}{m}|\sqrt{}$  

$v_{\max }=\sqrt{\frac{2E_c}{m}}$  

$v_{\max }=\sqrt{\frac{2\frac{1}{2}k{A}^2}{m}}$  

$v_{\max }=\sqrt{\frac{k{A}^2}{m}}$  

$v_{\max }=\sqrt{\frac{k}{m}}\cdot \sqrt{A^2}$  

$v_{\max }=\sqrt{\frac{k}{m}}A$  

Zależność częstości drgań ciężarka na sprężynie od współczynnika sprężystości oraz masy jest dana wzorem:

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$  

gdzie:

$\omega$ - częstość drgań,

$k$  - wartość współczynnika sprężystości,

$m$  - masa ciała.

Wówczas wzór na wartość prędkości maksymalnej przyjmuję postać:

$v_{\max }=\omega A$  

Wstawiamy dane i obliczamy:

$v_{\max }=3,14\frac{\text{rad}}{\text{s}}\cdot 0,05\text{m}=0,157\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Odpowiedź: Wartość prędkości maksymalnej wynosi około 0,157 ^m/_s.