Izotop radonu powstaje w wyniku...- Zadanie 12.2: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$t = 150 h$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z danych odczytanych z wykresu:

$t_{1} = 20 h$

$\frac{N ( t _{1} )}{N _{0}} = 0, 86$

Szukane:

$\frac{N ( t )}{N _{0}} = ?$

Rozwiązanie:

Zgodnie z prawem rozpadu promieniotwórczego liczbę jąder promieniotwórczych pierwiastka, która pozostanie po danym czasie możemy przedstawić zależnością:

$N (t) = N_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T _{1/2}}}$

gdzie:

$N (t)$ - obecna liczba jąder promieniotwórczych,

$N_{0}$ - początkowa liczba jąder w próbce,

$T_{1/2}$ - czas połowicznego rozpadu pierwiastka znajdującego się w próbce,

$t$ - czas po jakim rozważamy ilość jąder pozostałych w próbce.

Powyższy wzór możemy zapisać w postaci:

$\frac{N ( t _{1} )}{N _{0}} = (\frac{1}{2})^{\frac{t _{1}}{T _{1/2}}}$

gdzie:

$N (t_{1})$ - liczba pozostałych jąder promieniotwórczych po upływie rozważanego czasu,

$t_{1}$ - czas po jakim rozważamy ilość jąder pozostałych w próbce.

Korzystamy z definicji logarytmu i przekształcamy wzór, aby obliczyć czas połowicznego rozpadu:

$\frac{t _{1}}{T _{1/2}} = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{N ( t _{1} )}{N _{0}} ∣ \cdot T_{1/2}$

$t_{1} = T_{1/2} \cdot lo g_{\frac{1}{2}} \frac{N ( t _{1} )}{N _{0}} ∣ : lo g_{\frac{1}{2}} \frac{N ( t _{1} )}{N _{0}}$

$T_{1/2} = \frac{t _{1}}{lo g _{\frac{1}{2}} \frac{N ( t _{1} )}{N _{0}}}$

Zapisujemy wzór na ułamek z początkowej liczby jąder izotopu po podanym czasie i wstawiamy wyrażenie na czas połowicznego rozpadu:

$\frac{N ( t )}{N _{0}} = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T _{1/2}}}$

$\frac{N ( t )}{N _{0}} = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{\frac{t _{1}}{l o g _{\frac{1}{2}} \frac{N ( t _{1} )}{N _{0}}}}}$

$\frac{N ( t )}{N _{0}} = (\frac{1}{2})^{\frac{t l o g _{\frac{1}{2}} \frac{N ( t _{1} )}{N _{0}}}{t _{1}}}$

Wstawiamy dane liczbowe:

$\frac{N ( t )}{N _{0}} = (\frac{1}{2})^{\frac{150 h \cdot l o g _{\frac{1}{2}} 0 , 86}{20 h}} \approx (\frac{1}{2})^{\frac{150 \cdot 0 , 218}{20}} \approx$