Dane:

$s=330\text{m}$  

$f=110\text{Hz}$  

$v_p=330\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$x_1=164,25\text{m}$  

$x_2=165,75\text{m}$  

Szukane:

Czy obserwator usłyszy dźwięk?

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest ustalenie za pomocą obliczeń, czy obserwator usłysz dźwięk. Równanie fali opisuje wzór:

$y\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\phi \right)$  

gdzie:

$y\left(t\right)$ - zależność wychylenia fali od czasu,

$\omega$  - częstość fali,

$A$  - amplituda fali,

$t$  - czas,

$\phi$  - faza fali.

W treści zadania mamy powiedziane, że są dwie fale dźwiękowe o tej samej amplitudzie oraz częstotliwości (czyli również częstości), ale pochodzą z dwóch głośników oddalonych od obserwatora o  $x_1$  oraz  $x_2$  :

$y_1\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+{\phi }_1\right)$  

$y_2\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+{\phi }_2\right)$  

W miejscu, w którym stoi obserwator fale te nałożą:

$y_1\left(t\right)+y_2\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+{\phi }_1\right)+A\sin \left(\omega t+{\phi }_2\right)$  

$y_1\left(t\right)+y_2\left(t\right)=A\left(\sin \left(\omega t+{\phi }_1\right)+\sin \left(\omega t+{\phi }_2\right)\right)$  

Korzystając z właściwości funkcji trygonometrycznych:

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$  

Mamy:

$y_1\left(t\right)+y_2\left(t\right)=2A\sin \left(\frac{\omega t+{\phi }_1+\omega t+{\phi }_2}{2}\right)\cos \left(\frac{\omega t+{\phi }_1-\left(\omega t+{\phi }_2\right)}{2}\right)$  

$y_1\left(t\right)+y_2\left(t\right)=2A\sin \left(\frac{2\omega t+{\phi }_1+{\phi }_2}{2}\right)\cos \left(\frac{\omega t+{\phi }_1-\omega t-{\phi }_2}{2}\right)$  

$y_1\left(t\right)+y_2\left(t\right)=2A\sin \left(\frac{2\omega t+{\phi }_1+{\phi }_2}{2}\right)\cos \left(\frac{{\phi }_1-{\phi }_2}{2}\right)$  

$y_1\left(t\right)+y_2\left(t\right)=2A\sin \left(\frac{2\omega t+{\phi }_1+{\phi }_2}{2}\right)\cos \left(\frac{\Delta \phi }{2}\right)$  

Zatem, aby obserwator usłyszał dźwięk pochodzący z tych dwóch głośników naraz argument cosinusa musi być wielokrotnością 2 $\pi$  :

$\Delta \phi =2\pi n$  

gdzie:

$n$  - liczba całkowita.

Fazę fali w punkcie  $x$  i w danej chwili określamy wzorem:

$\phi =\frac{2\pi }{\lambda }x$  

gdzie:

$\lambda$ - długość fali,

$x$ - współrzędna punktu w przestrzeni.

Zatem różnica faz jest dana wzorem:

$\Delta \phi =\left|{\phi }_2-{\phi }_1\right|$  

Zakładamy, że te fale mają taką samą długość, ponieważ rozchodzą się z taką samą szybkością oraz mają tą samą częstotliwość. Wówczas:

$\Delta \phi =\left|\frac{2\pi }{\lambda }{x}_2-\frac{2\pi }{\lambda }{x}_1\right|$  

$\Delta \phi =\frac{2\pi }{\lambda }\left|x_2-x_1\right|$  

Długość fali możemy obliczyć ze wzoru:

$\lambda =\frac{v}{f}$  

gdzie:

$v$  - wartość prędkości rozchodzenia się fali, 

$f$  - częstotliwość fali.

Korzystając z powyższego wzoru mamy:

$\Delta \phi =\frac{2\pi }{\lambda }\left|x_2-x_1\right|$  

$\Delta \phi =\frac{2\pi }{\frac{v}{f}}\left|x_2-x_1\right|$  

$\Delta \phi =2\pi \frac{f}{v}\left|x_2-x_1\right|$  

Porównując z warunkiem na słyszalność dźwięku przez obserwatora:

$\Delta \phi =2\pi n$  

Widzimy, że wyraz:

$n=\frac{f}{v}\left|x_2-x_1\right|$  

Musi być liczbą całkowitą. Zatem wstawiamy dane i obliczamy:

$n=\frac{110\text{Hz}}{330\frac{\text{m}}{\text{s}}}\cdot \left|165,75\text{m}-164,25\text{m}\right|=$  

$=\frac{110}{330}\cdot 1,5\frac{1}{\text{s}}\cdot \frac{\text{s}}{\text{m}}\cdot \text{m}=$  

$=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{1}{2}$  

Odpowiedź: Różnica fazy pomiędzy falami nie spełnia warunku zatem obserwator nie usłyszy dźwięku.