Dane:

${\lambda }_1=588\text{nm}=588\cdot {10}^{-9}\text{m}$  

${\lambda }_2=486\text{nm}=486\cdot {10}^{-9}\text{m}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ zależność pomiędzy jednostkami energii: $1\text{eV}=1,602\cdot {10}^{-19}\text{J}$ ,

▶ stała Plancka: $h=6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$ ,

▶ wartość prędkości światła w próżni: $c=3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$ ,

Szukane:

Które z widm jest widmem helu, a które widmem wodoru?

Rozwiązanie:

W widm odczytujemy długości fal oznaczonych na poszczególnych widmach. Wiemy, że foton jest wyemitowany kiedy elektron przekuje z orbity wyższej na niższą. Zatem energia wyemitowanego fotonu jest dana wzorem:

$E_f=E_n-E_m$  

gdzie:

$E_f$ - energia fotonu,

$E_n$  - energia elektronu na orbicie wyższej,

$E_m$  - energia elektronu na orbicie niższej.

Z drugiej strony energię fotonu wyznaczamy ze wzoru:

$E_f=\frac{hc}{\lambda }$  

gdzie:

$h$  - stała Plancka, 

$c$  - wartość prędkości światła, 

$\lambda$  - długość fali padającego promieniowania. 

W przypadku atomu wodoru wiemy, że energia elektronu na  $n$  - tej orbicie opisuje wzór:

$E_n=-\frac{E_0}{n^2}$  

gdzie:

$E_n$ - energia elektronu na $n$-tej orbicie,

$E_0$  - bezwzględna wartość energii na pierwszej orbicie, 

$n$  - numer orbity lub poziomu energetycznego (zawsze liczba naturalna). 

Wartość bezwzględna wartości energii na pierwszej orbicie w atomie wodoru wynosi:

$E_0=-13,606\text{eV}$  

Zapisujemy więc energię fotonu jako:

$E_f=E_n-E_m$  

$\frac{hc}{\lambda }=-\frac{E_0}{n^2}-\left(-\frac{E_0}{m^2}\right)$  

$\frac{hc}{\lambda }=-\frac{E_0}{n^2}+\frac{E_0}{m^2}$  

$\frac{hc}{\lambda }=-E_0\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)$  

$\frac{hc}{\lambda }=-E_0\left(\frac{m^2}{n^2{m}^2}-\frac{n^2}{n^2{m}^2}\right)$  

$\frac{hc}{\lambda }=-E_0\left(\frac{m^2-n^2}{n^2{m}^2}\right)$  

Z powyższej zależności  wyznaczmy wzór na długość fali:

$\frac{hc}{\lambda }=-E_0\frac{m^2-n^2}{n^2{m}^2}\text{|}\cdot \lambda$  

$hc=-E_0\frac{m^2-n^2}{n^2{m}^2}\lambda \text{| : }-E_0\frac{m^2-n^2}{n^2{m}^2}$  

$\lambda =\frac{hc}{-E_0\frac{m^2-n^2}{n^2{m}^2}}$  

$\lambda =\frac{hc{n}^2{m}^2}{-E_0\left(m^2-n^2\right)}$  

$\lambda =\frac{hc}{-E_0}\frac{n^2{m}^2}{m^2-n^2}$  

Wyznaczmy długości wyemitowanego fotonu dla poszczególnych przejść elektronu. Jednakże zgodnie ze wskazówką z zadania możemy rozważać przejścia elektronu z wyższych orbit na poziom 2, czyli:

$n=2$  

Mamy więc:

▶ Elektron przeskakuje z orbity 3 na 2

${\lambda }_{3\to 2}=\frac{6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{-\left(-13,6\text{eV}\right)}\cdot \frac{2^2\cdot 3^2}{3^2-2^2}=$  

$=\frac{6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{13,6\text{eV}}\cdot \frac{4\cdot 9}{9-4}=$  

$=\frac{6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{13,6\cdot 1,602\cdot {10}^{-19}\text{J}}\cdot \frac{36}{5}=$  

$=\frac{6,626\cdot 3\cdot 36}{13,6\cdot 1,602\cdot 5}\cdot \frac{{10}^{-34}\cdot {10}^8}{{10}^{-19}}\frac{\text{J}\cdot \text{s}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}}{\text{J}}=$  

$=\frac{715,608}{108,936}\cdot \frac{{10}^{-26}}{{10}^{-19}}\text{m}=$  

$\approx 6,569068\cdot {10}^7\text{m}\approx 657\cdot {10}^{-9}\text{m}=657\text{nm}$  

▶ Elektron przeskakuje z orbity 4 na 2

${\lambda }_{4\to 2}=\frac{6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{-\left(-13,6\text{eV}\right)}\cdot \frac{2^2\cdot 4^2}{4^2-2^2}=$  

$=\frac{6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{13,6\text{eV}}\cdot \frac{4\cdot 16}{16-4}=$  

$=\frac{6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}{13,6\cdot 1,602\cdot {10}^{-19}\text{J}}\cdot \frac{64}{12}=$  

$=\frac{6,626\cdot 3\cdot 64}{13,6\cdot 1,602\cdot 12}\cdot \frac{{10}^{-34}\cdot {10}^8}{{10}^{-19}}\frac{\text{J}\cdot \text{s}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}}{\text{J}}=$  

$=\frac{1272,192}{261,4464}\cdot \frac{{10}^{-26}}{{10}^{-19}}\text{m}=$  

$\approx 4,865976\cdot {10}^7\text{m}\approx 487\cdot {10}^{-9}\text{m}=487\text{nm}$  

Widzimy, że długość fali wyemitowanego fotonu w wyniku przejścia elektronu z orbity 4 na 2 zgadza się z długością fali w widmie II. Zatem widmo II odpowiada wodorowi.

Odpowiedź: Widmo II jest widmem wodoru, natomiast widmo I jest widmem helu.