Dane:

$W=2,14\mathrm{eV}$

$\lambda =25\cdot 10^{-13}\mathrm{m}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ zależność pomiędzy jednostkami energii: $1\mathrm{eV}=1,6\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}$, 

▶  masa spoczynkowa elektronu: $m_{}=9,11\cdot {10}^{-31}\mathrm{kg}$,

▶ stała Plancka: $h=6,63\cdot 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$,

▶ wartość prędkości światła w próżni: $c=3\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Szukane:

$v=?$

Rozwiązanie:

Szukamy maksymalnej szybkości, jaką mogą uzyskać fotoelektrony wybite z cezu za pomocą promieniowania gamma o podanej długości fali. Oznacza to, że cała energia z promieniowania zostanie przekazana na pracę wyjścia oraz energię kinetyczną wybitych fotoelektronów. Zapisujemy zatem równanie Einsteina, z którego wynika, że jeden foton promieniowania wybije z cezu jeden fotoelektron :

$W+E_k=E_f$

gdzie:

$W$ - praca wyjścia elektronu dla cezu, 

$E_k$ - maksymalna energia kinetyczna wybitych fotoelektronów, 

$E_f$ - energia fotonów promieniowania padającego na cez. 

W tym przypadku energia padających fotonów będzie tak duża, że należy uwzględnić efekty relatywistyczne. Relatywistyczną energię kinetyczną obiektu obliczamy z zależności:

$E_k=m{c}^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)$

gdzie:

$E_k$ - relatywistyczna energia kinetyczna, 

$m$ - masa spoczynkowa elektronu, 

$c$ - wartość prędkości światła w próżni,

$v$ - szybkość, z jaką porusza się ten obiekt (wybity fotoelektron).

Energię fotonu o podanej długości fali możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$E_f=\frac{hc}{\lambda }$ 

gdzie:

$h$ - stała Plancka, 

$\lambda$ - długość fali padającego promieniowania. 

Korzystając z powyższych zależności możemy wyznaczyć maksymalną energię, jaką będzie posiadał wybity fotoelektron:

$W+E_k=E_f$

$W+m{c}^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)=\frac{hc}{\lambda }|-W$

$m{c}^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)=\frac{hc}{\lambda }-\frac{\lambda W}{\lambda }$

$m{c}^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)=\frac{hc-\lambda W}{\lambda }|:m{c}^2$

$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1=\frac{hc-\lambda W}{m{c}^2\lambda }|+1$

$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{hc-\lambda W}{m{c}^2\lambda }+1$

$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{hc-\lambda W}{m{c}^2\lambda }+\frac{m{c}^2\lambda }{m{c}^2\lambda }$

$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{hc-\lambda W+m{c}^2\lambda }{m{c}^2\lambda }|\cdot m{c}^2\lambda \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

$m{c}^2\lambda =\left(hc-\lambda W+m{c}^2\lambda \right)\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

$\frac{m{c}^2\lambda }{hc-\lambda W+m{c}^2\lambda }=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}|{}^2$

${\left(\frac{m{c}^2\lambda }{hc-\lambda W+m{c}^2\lambda }\right)}^2=1-\frac{v^2}{c^2}|+\frac{v^2}{c^2}$

${\left(\frac{m{c}^2\lambda }{hc-\lambda W+m{c}^2\lambda }\right)}^2+\frac{v^2}{c^2}=1|-{\left(\frac{m{c}^2\lambda }{hc-\lambda W+m{c}^2\lambda }\right)}^2$

$\frac{v^2}{c^2}=1-{\left(\frac{m{c}^2\lambda }{hc-\lambda W+m{c}^2\lambda }\right)}^2|\sqrt{}$

$\frac{v}{c}=\sqrt{1-{\left(\frac{m{c}^2\lambda }{hc-\lambda W+m{c}^2\lambda }\right)}^2}|\cdot c$

$v=c\sqrt{1-{\left(\frac{m{c}^2\lambda }{hc-\lambda W+m{c}^2\lambda }\right)}^2}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=3\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \sqrt{1-{\left(\frac{9,11\cdot {10}^{-31}\mathrm{kg}\cdot {\left(3\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2\cdot 25\cdot 10^{-13}\mathrm{m}}{6,63\cdot 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}\cdot 3\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}-25\cdot 10^{-13}\mathrm{m}\cdot 2,14\mathrm{eV}+9,11\cdot {10}^{-31}\mathrm{kg}\cdot {\left(3\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2\cdot 25\cdot 10^{-13}\mathrm{m}}\right)}^2}=$

$=3\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \sqrt{1-{\left(\frac{9,11\cdot {10}^{-31}\mathrm{kg}\cdot 9\cdot {10}^{16}\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 25\cdot 10^{-13}\mathrm{m}}{19,89\cdot 10^{-26}\mathrm{J}\cdot \mathrm{m}-25\cdot 10^{-13}\mathrm{m}\cdot 2,14\cdot 1,6\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}+9,11\cdot {10}^{-31}\mathrm{kg}\cdot 9\cdot {10}^{16}\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 25\cdot 10^{-13}\mathrm{m}}\right)}^2}=$

$=3\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \sqrt{1-{\left(\frac{2049,75\cdot {10}^{-28}\mathrm{kg}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \mathrm{m}}{19,89\cdot 10^{-26}\mathrm{J}\cdot \mathrm{m}-85,6\cdot 10^{-32}\mathrm{J}\cdot \mathrm{m}+2049,75\cdot {10}^{-28}\mathrm{kg}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \mathrm{m}}\right)}^2}=$

$=3\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \sqrt{1-{\left(\frac{2,04975\cdot {10}^{-25}\mathrm{J}\cdot \mathrm{m}}{1,989\cdot 10^{-25}\mathrm{J}\cdot \mathrm{m}-8,56\cdot 10^{-31}\mathrm{J}\cdot \mathrm{m}+2,04975\cdot {10}^{-25}\mathrm{J}\cdot \mathrm{m}}\right)}^2}\approx$

$\approx 3\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \sqrt{1-{\left(\frac{2,04975\cdot {10}^{-25}\mathrm{J}\cdot \mathrm{m}}{1,989\cdot 10^{-25}\mathrm{J}\cdot \mathrm{m}+2,04975\cdot {10}^{-25}\mathrm{J}\cdot \mathrm{m}}\right)}^2}=$

$=3\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \sqrt{1-{\left(\frac{2,04975\cdot {10}^{-25}\mathrm{J}\cdot \mathrm{m}}{4,038755\cdot {10}^{-25}\mathrm{J}\cdot \mathrm{m}}\right)}^2}\approx 3\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \sqrt{1-0,5075^2}=$

$=3\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \sqrt{1-0,25755625}=3\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \sqrt{0,74244375}\approx$

$\approx 3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot 0,862=2,586\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\approx 2,6\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Odpowiedź: Maksymalna wartość prędkości elektronów wybitych z cezy wynosi około 2,6⋅10⁸ m/s.