Głośnik G poruszał się z prędkością...- Zadanie 4.2: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$v_{d} = 340 \frac{m}{s}$

Szukane:

$v_{G} = ?$

Rozwiązanie:

Zjawisko polegające na powstawaniu różnicy częstotliwości wysyłanej przez źródło oraz rejestrowanej przez obserwatora nazywamy efektem Dopplera. Wzór opisujący tą zależność ma postać:

$f = f_{0} \frac{v _{d} \pm v _{M}}{v _{d} \mp v _{G}}$

gdzie:

$f$ - częstotliwość fali odbieranej przez obserwatora,

$f_{0}$ - częstotliwość fali wysyłanej przez źródło,

$v_{d}$ - szybkość fali (w danym ośrodku),

$v_{M}$ - szybkość z jaką zbliża (+) / oddala (-) się obserwator (mikrofon) do źródła,

$v_{G}$ - szybkość z jaką zbliża (-) / oddala (+) się źródło (głośnik) do obserwatora.

W przypadku z zadania mikrofony są nieruchome, więc szybkość obserwatora jest zerowa. Dla mikrofonu M1, do którego głośnik się przybliża, wzór przyjmie postać:

$f_{1} = f_{0} \frac{v _{d}}{v _{d} - v _{G}}$

gdzie:

$f_{1}$ - częstotliwość dźwięku odbieranego przez mikrofon nr 1.

Dla mikrofonu M2, od którego głośnik się oddala, wzór przyjmie postać:

$f_{2} = f_{0} \frac{v _{d}}{v _{d} + v _{G}}$

gdzie:

$f_{2}$ - częstotliwość dźwięku odbieranego przez mikrofon nr 2.

Częstotliwość fali akustycznej możemy przedstawić wzorem:

$f = \frac{v _{d}}{λ}$

gdzie:

$λ$ - długość fali.

Zapisujemy wyrażenie na stosunek częstotliwości odbieranych przez mikrofony:

$\frac{f _{1}}{f _{2}} = \frac{\frac{v _{d}}{λ _{1}}}{\frac{v _{d}}{λ _{2}}}$

gdzie:

$λ_{1}$ - długość fali odbieranej przez mikrofon nr 1,

$λ_{2}$ - długość fali odbieranej przez mikrofon nr 2.

Upraszczamy powyższe wyrażenie:

$\frac{f _{1}}{f _{2}} = \frac{v _{d}}{λ _{1}} \cdot \frac{λ _{2}}{v _{d}}$

Wstawiamy przedstawione wcześniej wzory na częstotliwości dźwięku:

$\frac{f _{0} \frac{v _{d}}{v _{d} - v _{G}}}{f _{0} \frac{v _{d}}{v _{d} + v _{G}}} = \frac{λ _{2}}{λ _{1}}$

$\frac{v _{d}}{v _{d} - v _{G}} \cdot \frac{v _{d} + v _{G}}{v _{d}} = \frac{λ _{2}}{λ _{1}}$

$\frac{v _{d} + v _{G}}{v _{d} - v _{G}} = \frac{λ _{2}}{λ _{1}}$

Wymnażamy na krzyż:

$λ_{1} (v_{d} + v_{G}) = λ_{2} (v_{d} - v_{G})$

$λ_{1} v_{d} + λ_{1} v_{G} = λ_{2} v_{d} - λ_{2} v_{G}$

$λ_{1} v_{G} + λ_{2} v_{G} = λ_{2} v_{d} - λ_{1} v_{d}$

$v_{G} (λ_{1} + λ_{2}) = v_{d} (λ_{2} - λ_{1}) ∣ : (λ_{1} + λ_{2})$

$v_{G} = \frac{v _{d} ( λ _{2} - λ _{1} )}{λ _{1} + λ _{2}}$

Długości fal akustycznych odczytujemy z rysunku. W tym celu mierzymy odległości pomiędzy sąsiednimi czołami fali po stronie mikrofonu M1 i mikrofonu M2: