Promień światła monochromatycznego biegnie w powietrzu i pada...- Zadanie 9.1: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Uzasadnienie:

Korzystając z prawa załamania (inaczej prawo Snella lub Snelliusa) wiemy, że stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest dla dwóch danych ośrodków wielkością stałą, równą stosunkowi szybkości światła w tych ośrodkach i zwaną względnym współczynnikiem załamania ośrodka drugiego względem pierwszego:

$\frac{sin α}{sin β} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$

gdzie:

$α$ - kąt padania,

$β$ - kąt załamania,

$n_{1}$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło pada,

$n_{2}$ - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło się załamuje.

W naszym przypadku promień światła monochromatycznego biegnie w powietrzu i pada na brzeg szklanego krążka. Współczynnik załamania światła dla szkła na pewno jest większy niż dla powietrza, czyli:

$n_{s} > n_{p}$

gdzie:

$n_{p}$ - współczynnik załamania światła dla powietrza,

$n_{s}$ - współczynnik załamania światła dla szkła.

Oznacza to, że kąt załamania $β$ przy przejściu wiązki z powietrza do szkła jest mniejszy od kąta padania $α$ :

$β < α$

Natomiast kąt załamania $γ_{za ł}$ przy przejściu wiązki ze szkła do powietrza jest większy od kąta padania $γ_{pad}$ .

$γ_{za ł} > γ_{pad}$

Wówczas z prawa załamania otrzymamy następujące równania:

$\frac{sin α}{sin β} = \frac{n _{s}}{n _{p}}$

$\frac{sin γ _{pad}}{sin γ _{za ł}} = \frac{n _{p}}{n _{s}}$

Zwróćmy uwagę na rysunku 1. trójkąt ADO. Zauważmy, że odcinku |AO| oraz |DO| są promieniami tego krążka. Oznacza to, że trójkąt ten jest równoramienny. Z własności trójkąta równoramiennego otrzymujemy, że:

$γ_{pad} = β$

Oznacza to, że kąt załamania przy przejściu ze szkła do powietrza będzie miał postać:

$\frac{sin γ _{pad}}{sin γ _{za ł}} = \frac{n _{p}}{n _{s}}$

$\frac{sin β}{sin γ _{za ł}} = \frac{1}{\frac{n _{s}}{n _{p}}}$

$\frac{sin β}{sin γ _{za ł}} = \frac{1}{\frac{s i n α}{s i n β}}$

$\frac{sin β}{sin γ _{za ł}} = \frac{sin β}{sin α}$

$\frac{1}{sin γ _{za ł}} = \frac{1}{sin α}$

Oznacza to, że:

$sin γ_{za ł} = sin α$

A tym samym:

$γ_{za ł} = α$

Korzystając z prawa odbicia wiemy, że kąt odbicia promienia padającego w punkcie D jest taki sam, jak kąt padania promienia w punkcie D:

$γ_{odb} = γ_{pad}$

Zacznijmy od zaznaczenia na rysunku promienia odbitego od punktu D. Możemy skorzystać jedynie z linijki dostępnej na maturze. Na linijce mamy podziałkę, za pomocą której (podobnie jak w ekierce) możemy narysować odcinek prostopadły do odcinka |DO|:

Następnie linijką mierzymy długość części odcinka |CE| prostopadłego do |DO|:

Odmierzamy taką samą odległość po przeciwnej stronie odcinka |DO|:

Z własności trójkątów podobnych (bok, bok, kąt) otrzymamy trójkąt CDE' podobny do trójkąta DDE, którego bok |DE'| należy do promienia odbitego. Narysujmy promień odbity i oznaczmy kąt odbicia:

Podobnie wykonamy konstrukcję promienia załamanego na szklanym krążku. Najpierw z punktu A odmierzmy odcinek o dowolnej długości wzdłuż normalnej dla promienia padającego z powietrza do szkła. Następnie taki sam odcinek odmierzamy na normalnej dla kąta padania ze szkła do powietrza w punkcie D. Odcinki te odmierzamy na zewnątrz krążka:

Następnie z punktu F prowadzimy odcinek prostopadły do odcinka |AF|, którego koniec będzie przecinał promień światła wychodzący z lasera. Mierzymy długość narysowanego odcinka, a następnie odcinek o takiej samej długości oraz prostopadły do odcinka |DF'| rysujemy z punktu F':

Korzystając z podobieństwa trójkątów (bok, bok, kąt) otrzymamy, że trójkąt DF'G' jest podobny do trójkąta AFG. Zatem kąt ∢F'DG' ma taką samą miarę jak kąt ∢FAG, czyli jest to kąt załamania promienia na granicy ośrodków szkło - powietrze: