Dane:

$m=420\text{g}=0,42\text{kg}$  

$r=11\text{cm}=0,11\text{m}$  

$\alpha =5^{\circ }$  

$s=100\text{m}$  

$v_p=0$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$ . 

Szukane:

$v=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości prędkości liniowej piłki tuż przed złapaniem jej przez przechodnia. Zgodnie z treścią zadania mamy rozważyć sytuację, w której piłeczka stacza się z pochylni nachylonej pod kątem  $\alpha$  .

Z treści zadania wiemy, że na początku ruchu, czyli na najwyższej wysokości kulka nie poruszała się tzn. wartość jej prędkości początkowej wynosiła:

$v_p=0$  

Następnie przejechała drogę  $s$  , aż została złapana przez przechodnia. Zakładamy więc, że została złapana przez przechodnia nadal będąc na pochylni.

Energia całkowita kulki składa się z energii potencjalnej oraz energii kinetycznej:

$E_c=E_k+E_p$  

gdzie:

$E_c$ - energia całkowita,

$E_k$  - energia kinetyczna,

$E_p$  - energia potencjalna.

Energię kinetyczną kulki opiszemy za pomocą dwóch wyrazów:

$E_k=E_{k_p}+E_{k_o}$  

gdzie:

$E_{k_p}$  - energia kinetyczna ruchu postępowego,

$E_{k_o}$  - energia kinetyczna ruchu obrotowego.

Energię kinetyczną bryły w ruchu obrotowym możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$E_{k_o}=\frac{I{\omega }^2}{2}$  

gdzie:

$I$  - moment bezwładności bryły, 

$\omega$  - szybkość kątowa bryły względem przyjętej osi obrotu. 

Natomiast energię kinetyczną ruchu postępowego opisujemy wzorem:

$E_{k_p}=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie:

$m$  - masa ciała,

$v$  - wartość prędkości.

Energię potencjalną ciała opisujmy wzorem:

$E_p=mgh$  

gdzie:

$m$  - masa ciała,

$g$  - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h$  - wysokość nad powierzchnią ziemi.

Przeanalizujmy, korzystając z zasady zachowania energii, te dwa etapy ruchu.

---

Kulka na początku ruchu

Zakładamy, że długość pochylni wynosi  $l$  . Zgodnie z rysunkiem maksymalna wysokość na jakiej znajduję się środek kuli opisuje wzór:

$h_{\max }=h_1+r$  

gdzie:

$h_{\text{max}}$ - maksymalna wysokość na jakiej znajduje się środek ciężkości piłki,

$h_1$  - wysokość maksymalna pochylni,

$r$  - promień kuli.

Zauważmy, że wysokość maksymalną pochylni możemy opisać wzorem:

$\frac{h_1}{l}=\sin \alpha |\cdot l$  

$h_1=l\sin \alpha$  

Zgodnie z treścią zadania na początku ruchu kula nie porusza się. Zatem jej energia kinetyczna wynosi:

$E_k=0$  

Natomiast energię potencjalną opisuje wzór:

$E_p=mg{h}_{\max }$  

$E_p=mg\left(h_1+r\right)$  

$E_p=mg\left(l\sin \alpha +r\right)$  

Zatem całkowitą energię kulki na początku ruchu opisuje wzór:

$E_I=E_p+E_k$  

$E_I=mg\left(l\sin \alpha +r\right)+0$  

$E_I=mg\left(l\sin \alpha +r\right)$  

---

Kulka w momencie złapania przez przechodnia

Chwilę przed złapaniem przez przechodnia kulka poruszała się z pewną szybkością, zatem posiadała energię kinetyczną:

$E_k=E_{k_p}+E_{k_o}$  

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}+\frac{I{\omega }^2}{2}$  

Szybkość kątową ciała w ruchu obrotowym możemy przedstawić za pomocą szybkości liniowej zależnością:

$\omega =\frac{v}{r}$  

gdzie:

$\omega$  - szybkość kątowa, 

$v$  - szybkość liniowa, 

$r$  - promień okręgu, po którym porusza się ciało. 

Zatem mamy:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}+\frac{I{\omega }^2}{2}$  

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}+\frac{I{\left(\frac{v}{r}\right)}^2}{2}$  

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}+\frac{I\frac{v^2}{r^2}}{2}$  

Z treści zadania mamy podany moment bezwładności kuli:

$I=\frac{2}{3}m{r}^2$  

Wówczas:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}+\frac{I\frac{v^2}{r^2}}{2}$  

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}+\frac{\frac{2}{3}m{r}^2\frac{v^2}{r^2}}{2}$  

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}+\frac{\frac{2}{3}m\cancel{r^2}\frac{v^2}{\cancel{r^2}}}{2}$  

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}+\frac{\frac{2}{3}m{v}^2}{2}$  

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}+\frac{2m{v}^2}{6}$  

$E_k=\frac{3m{v}^2}{6}+\frac{2m{v}^2}{6}$  

$E_k=\frac{5}{6}m{v}^2$  

Jednocześnie kula posiada energię potencjalną, ponieważ znajduję się na wysokości:

$h=h_2+r$  

Korzystając z funkcji trygonometrycznych mamy:

$\frac{h_2}{x}=\sin \alpha |\cdot x$  

$h_2=x\sin \alpha$  

Zatem energia potencjalna kuli wynosi:

$E_p=mgh$  

$E_p=mg\left(h_2+r\right)$  

$E_p=mg\left(x\sin \alpha +r\right)$  

Całkowita energia kulki na tym etapie ruchu opisuje wzór:

$E_{II}=E_p+E_k$  

$E_{II}=mg\left(x\sin \alpha +r\right)+\frac{5}{6}m{v}^2$  

Zgodnie z zasadą zachowania energii całkowita energia jest taka sama w każdym etapie ruchu. Mamy więc:

$E_{II}=E_I$  

$mg\left(x\sin \alpha +r\right)+\frac{5}{6}m{v}^2=mg\left(l\sin \alpha +r\right)\text{| : }m$  

$g\left(x\sin \alpha +r\right)+\frac{5}{6}{v}^2=g\left(l\sin \alpha +r\right)\text{|}-g\left(x\sin \alpha +r\right)$  

$\frac{5}{6}{v}^2=g\left(l\sin \alpha +r\right)-g\left(x\sin \alpha +r\right)$  

$\frac{5}{6}{v}^2=gl\sin \alpha +gr-gx\sin \alpha -gr$  

$\frac{5}{6}{v}^2=gl\sin \alpha -gx\sin \alpha$  

$\frac{5}{6}{v}^2=g\sin \alpha \left(l-x\right)$  

Zauważmy, że różnica długości całej pochylni oraz części pochylni, której kulka nie przebyła jest równa drodze jaką kulka pokonała:

$s=l-x$  

Zatem:

$\frac{5}{6}{v}^2=g\sin \alpha \left(l-x\right)$  

$\frac{5}{6}{v}^2=g\sin \alpha s\text{| : }\frac{5}{6}$  

$v^2=\frac{6}{5}gs\sin \alpha \text{|}\sqrt{}$  

$v=\sqrt{\frac{6}{5}gs\sin \alpha }$  

Wstawiamy dane i obliczamy:

$v=\sqrt{\frac{6}{5}\cdot 9,81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 100\text{m}\cdot \sin 5^{\circ }}=$  

$=\sqrt{\frac{6}{5}\cdot 981\cdot 0,0872\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\sqrt{1,2\cdot 85,5432}\sqrt{\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\sqrt{102,65184}\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 10,13172\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 10,1\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Odpowiedź: Wartość prędkości kulki w momencie złapania przez przechodnia wynosiła około 10,1 ^m/_s.