Ciało niebieskie N krąży wokół...- Zadanie 3.1: Nowa Teraz Matura. Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

Dane:

$r_{B} = 2 r_{P}$

Szukane:

$v_{B} = ?$

Rozwiązanie:

Moment pędu punktu materialnego wyrażamy wzorem:

$L = r \times p$

gdzie:

$L$ - moment pędu punktu materialnego,

$r$ - wektor wodzący punktu,

$p$ - pęd.

Ponieważ mamy tutaj do czynienia z iloczynem wektorowym to wartość momentu pędu możemy przedstawić wzorem:

$L = r p sin α$

gdzie:

$L$ - wartość momentu pędu,

$r$ - długość wektora wodzącego,

$p$ - wartość pędu,

$α$ - kąt pomiędzy wektorem wodzącym, a wektorem pędu.

Wartość pędu ciała niebieskiego możemy policzyć z wzoru:

$p = m v$

gdzie:

$m$ - masa ciała niebieskiego,

$v$ - wartość prędkości ciała niebieskiego.

Wektor prędkości ciała w punkcie P jest prostopadły do promienia, dlatego korzystając z powyższych zależności możemy zapisać wyrażenie na wartość momentu pędu ciała niebieskiego w punkcie P:

$L_{P} = r_{P} v_{P} sin 9 0^{\circ}$

gdzie:

$r_{P}$ - odległość ciała niebieskiego, będącego w punkcie P, od gwiazdy,

$v_{P}$ - wartość prędkości ciała niebieskiego w punkcie P.

Następnie zapisujemy podobne wyrażenie dla ciała niebieskiego znajdującego się w punkcie B:

$L_{B} = r_{B} v_{B ⊥} sin 9 0^{\circ}$

gdzie:

$r_{B}$ - odległość ciała niebieskiego, będącego w punkcie B, od gwiazdy,

$v_{B ⊥}$ - wartość składowej prędkości ciała niebieskiego w punkcie B prostopadłej do wektora wodzącego.

Korzystając z zasady zachowania momentu pędu możemy zapisać:

$L_{P} = L_{B}$

$r_{P} v_{P} sin 9 0^{\circ} = r_{B} v_{B ⊥} sin 9 0^{\circ}$

$r_{P} v_{P} \cdot 1 = r_{B} v_{B ⊥} \cdot 1$

$r_{P} v_{P} = r_{B} v_{B ⊥} ∣ : r_{B}$

$v_{B ⊥} = \frac{r _{P} v _{P}}{r _{B}}$

Wstawiamy dane z zadania:

$v_{B ⊥} = \frac{r _{P} v _{P}}{2 r _{P}}$

$v_{B ⊥} = \frac{1}{2} v_{P}$

Na podstawie uzyskanej informacji możemy narysować składową prędkości prostopadłą do wektora wodzącego. Długość wektora musi być dwa razy mniejsza niż długość wektora prędkości w punkcie P:

Następnie rysujemy wektor prędkości $v_{B}$ styczny do toru ruchu ciała niebieskiego. Rysujemy ten wektor w taki sposób, aby narysowany wcześniej wektor prostopadły do promienia stanowił jego składową.