Dane:

$a_Z=1,0\text{au}$  

$T_Z=1,0\text{rok}$  

$a_{S2}=\frac{\left|PA\right|}{2}$  

$r_P=120\text{au}$  

$r_A=1820\text{au}$

$T_{S2}=16\text{lat}$  

Szukane:

$\frac{M_{SA}}{M_S}=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy, że odległość pomiędzy punktami A oraz P opisuje wzór:

$\left|PA\right|=r_P+r_A$  

Zatem wielka półoś obiektu, który porusza się wokół Sgr A* jest opisana wzorem:

$a_{S2}=\frac{r_P+r_A}{2}$  

Według treści zadania stosunek mas pełniących rolę centrum grawitacyjnych opisuje wzór:

  $\frac{M_1}{M_2}={\left(\frac{a_1}{a_2}\right)}^3\cdot {\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^2$  

gdzie:

$M_1,M_2$ - masy ciał poruszających się po orbitach,

$a_1,a_2$ - długości promieni/półosi wielkich orbit,

$T_1,T_2$ - okresy obiegu ciał po orbitach.

W rozważanym przypadku przyjmujemy:

$M_1=M_{SA}$  

Zatem:

$a_1=a_{S2}$  

$T_1=T_{S2}$  

oraz:

$M_2=M_S$  

Zatem:

$a_2=a_Z$  

$T_2=T_Z$  

Zatem wzór na stosunek mas obiektu Sgr A* oraz Słońca przyjmuję postać:

  $\frac{M_{SA}}{M_S}={\left(\frac{a_{S2}}{a_Z}\right)}^3\cdot {\left(\frac{T_Z}{T_{S2}}\right)}^2$  

Wstawiamy wzór na wielką półoś obiektu S2 i ostatecznie mamy wzór na stosunek mas w postaci:

  $\frac{M_{SA}}{M_S}={\left(\frac{\frac{r_P+r_A}{2}}{a_Z}\right)}^3\cdot {\left(\frac{T_Z}{T_{S2}}\right)}^2$  

  $\frac{M_{SA}}{M_S}={\left(\frac{r_P+r_A}{2a_Z}\right)}^3\cdot {\left(\frac{T_Z}{T_{S2}}\right)}^2$  

Wstawiamy dane i obliczamy:

  $\frac{M_{SA}}{M_S}={\left(\frac{120\text{au}+1820\text{au}}{2\cdot 1,0\text{au}}\right)}^3\cdot {\left(\frac{1,0\text{rok}}{16\text{lat}}\right)}^2=$

$={\left(\frac{1940\text{au}}{2\text{au}}\right)}^3\cdot {\left(\frac{1}{16}\right)}^2=$  

  $={\left(970\right)}^3\cdot \frac{1}{{16}^2}=$  

$=\frac{{970}^3}{{16}^2}=$  

$=\frac{912673000}{256}\approx 3565128,906$  

Proszą nas w zadaniu o zaokrąglenie wyniku do dwóch cyfr znaczących. Zatem ostatecznie mamy:

$\frac{M_{SA}}{M_S}\approx 3600000$  

Odpowiedź: Iloraz mas centrum grawitacyjnych wynosi 3,6 miliona.