Samochód ruszył i przez 4 s jechał z przyspieszeniem...- Zadanie 4 str. 5: To jest fizyka 8. Nowa edycja 2024–2026

Rozwiązanie

Uzasadnienie:

Naszym zadaniem jest narysowanie wykresu zależności prędkości od czasu dla poruszającego się samochodu. Z treści zadania wiemy, że czasy ruchu na poszczególnych etapach wynoszą:

▶ etap 1 - samochód rusza i przyspiesza: $Δ t_{1} = 4 s$ ,

▶ etap 2 - samochód zmienia swoje przyspieszenie i porusza się przez: $Δ t_{2} = 3 s$ ,

▶ etap 3 - samochód porusza się ruchem jednostajnym: $Δ t_{3} = 2 s$ .

Przyspieszenie samochodu, z jakim ruszył wynosi:

$a_{1} = 2 \frac{m}{s ^{2}}$

Przyspieszenie samochodu po 4 sekundach ruchu zmieniło się i osiągnęło wartość:

$a_{2} = 1 \frac{m}{s ^{2}}$

W trzecim etapie ruchu samochód poruszał się ruchem jednostajnym, czyli jego przyspieszenie wówczas było zerowe.

Wyznaczanie zmian szybkości samochodu.

Korzystając z definicji przyspieszenia wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$a = \frac{Δ v}{Δ t}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia,

$Δ v$ - zmiana szybkości ciała,

$Δ t$ - czas w jakim zmienia się szybkość.

W zadaniu podane mamy wartości przyspieszeń oraz czasy, w jakich zmienia się szybkość samochodu. Obliczyć musimy wówczas zmiany szybkości na każdym z etapów. W ogólnym przypadku zmianę szybkości obliczymy wzorem:

$\frac{Δ v}{Δ t} = a ∣ \cdot Δ t$

$Δ v = a Δ t$

Obliczamy zmiany szybkości dla poszczególnych etapów:

▶ etap 1:

Zmianę szybkości obliczymy ze wzoru:

$Δ v_{1} = a_{1} Δ t_{1}$

gdzie:

$Δ v_{1}$ - zmiana szybkości na pierwszym etapie,

$a_{1}$ - przyspieszenie samochodu, gdy ruszał,

$Δ t_{1}$ - czas ruchu samochodu na pierwszym etapie.

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Δ v_{1} = 2 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 4 s = 8 \frac{m}{s}$

▶ etap 2:

Zmianę szybkości obliczymy ze wzoru:

$Δ v_{2} = a_{2} Δ t_{2}$

gdzie:

$Δ v_{2}$ - zmiana szybkości na drugim etapie,

$a_{2}$ - przyspieszenie samochodu na drugim etapie,

$Δ t_{2}$ - czas ruchu samochodu na drugim etapie.

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Δ v_{2} = 1 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 3 s = 3 \frac{m}{s}$

▶ etap 3:

W tym przypadku samochód porusza się ruchem jednostajny, czyli zmiana jego szybkości jest zerowa:

$Δ v_{3} = 0$

Określenie czasów, a jakich na wykresie zmienia się ruch samochodu.

Zauważmy, że samochód rusza z miejsca, gdy:

$t_{0} = 0 s$

Określmy teraz dla jakim czasom zaznaczonym na wykresie odpowiadają jakie wartości prędkości. Zmianę czasu możemy przedstawić jako różnicę pomiędzy chwilą końcową, a początkową, czyli:

$Δ t = t_{k} - t_{p}$

gdzie:

$t_{k}$ - czas w chwili końcowej,

$t_{p}$ - czas w chwili początkowej.

Dla poszczególnych etapów otrzymamy:

▶ etap 1:

Zmiana czasu wówczas wynosi:

$Δ t_{1} = t_{1} - t_{0}$

gdzie:

$t_{0}$ - chwila początkowa gdy samochód rusza, czyli $0 s$ ,

$t_{1}$ - czas w chwili, gdy samochód zmienia przyspieszenie.

Zatem czas, w chwili, gdy samochód zmienia przyspieszenie, przy założeniu, że $t_{0} = 0 s$ to:

$t_{1} = Δ t_{1}$

$t_{1} = 4 s$

▶ etap 2:

Zmiana czasu wówczas wynosi:

$Δ t_{2} = t_{2} - t_{1}$

gdzie:

$t_{2}$ - czas w chwili, gdy samochód zaczyna poruszać się ruchem jednostajnym.

Zauważmy, że czas od początku ruchu do chwili, gdy zacznie poruszać się samochód ruchem jednostajnym będzie wynosił:

$t_{2} - t_{1} = Δ t_{2} ∣ + t_{1}$

$t_{2} = Δ t_{2} + t_{1}$

Ponieważ $t_{1} = Δ t_{1}$ to:

$t_{2} = Δ t_{2} + Δ t_{1}$

Wówczas:

$t_{2} = 3 s + 4 s = 7 s$

▶ etap 3:

Zmiana czasu wówczas wynosi:

$Δ t_{3} = t_{3} - t_{2}$

gdzie:

$t_{3}$ - czas w chwili, gdy przestajemy badać dalszy ruch samochodu.

Zauważmy, że czas od początku ruchu do chwili, gdy przestajemy badać ruch samochodu będzie wynosił:

$t_{3} - t_{2} = Δ t_{3} ∣ + t_{2}$

$t_{3} = Δ t_{3} + t_{2}$

Ponieważ $t_{2} = Δ t_{2} + Δ t_{1}$ to:

$t_{3} = Δ t_{3} + Δ t_{2} + Δ t_{1}$

Wówczas:

$t_{3} = 2 s + 3 s + 4 s = 9 s$

Zaznaczmy na wykresie przedziały czasu odpowiadające poszczególnym etapom ruchu:

Wyznaczamy szybkości, na końcach poszczególnych etapów

Ruch zaczyna się, gdy samochód stoi, dlatego początkowa wartość prędkości samochodu jest zerowa:

$v_{0} = 0 \frac{m}{s}$

Zmianę szybkości samochodu przedstawić możemy jako różnicę pomiędzy szybkością początkową, a końcową:

$Δ v = v_{k} - v_{p}$

gdzie:

$v_{p}$ - szybkość, początkowa,

$v_{k}$ - szybkość końcowa.

Dla poszczególnych etapów otrzymamy:

▶ etap 1:

Zmiana szybkości wynosi:

$Δ v_{1} = v_{1} - v_{0}$

gdzie:

$v_{0}$ - początkowa szybkość samochodu,

$v_{1}$ - szybkość samochodu na końcu pierwszego etapu.

Wówczas szybkość samochodu na końcu pierwszego etapu, pamiętając, że początkowo ta szybkość była zerowa ma postać:

$v_{1} = Δ v_{1}$

$v_{1} = 8 \frac{m}{s}$

▶ etap 2:

Zmiana szybkości wynosi:

$Δ v_{2} = v_{2} - v_{1}$

gdzie:

$v_{2}$ - szybkość samochodu na końcu drugiego etapu.

Wówczas szybkość samochodu na końcu drugiego etapu przedstawimy wzorem:

$v_{2} - v_{1} = Δ v_{2} ∣ + v_{1}$

$v_{2} = Δ v_{2} + v_{1}$

Ponieważ $v_{1} = Δ v_{1}$ to:

$v_{2} = Δ v_{2} + Δ v_{1}$

Obliczmy tą szybkość:

$v_{2} = 3 \frac{m}{s} + 8 \frac{m}{s} = 11 \frac{m}{s}$

▶ etap 3:

W trzecim etapie ruchu samochód poruszał się ruchem jednostajnym, czyli szybkość samochodu wówczas się nie zmieniała. Oznacza to, że na końcu trzeciego etapu ruchu szybkość samochodu wynosi:

$v_{3} = v_{2}$

$v_{3} = 11 \frac{m}{s}$

Zaznaczmy te szybkości na wykresie:

Podsumowując, od 0 sekundy ruchu do 4 sekundy duchu szybkość wzrosła od zera do 8 m/s. Od 4 sekundy ruchu do 7 sekundy ruchu szybkość wzrosła od 8 m/s do 11 m/s. Od 7 sekundy ruchu do 9 sekundy ruchu szybkość samochodu nie zmieniała się. Ponieważ samochód w dwóch pierwszych etapach poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym, to jego szybkość rosła jednostajnie i będzie reprezentowana przez odcinki.

Odpowiedź:

Wykonajmy wykres: