Działania na ułamkach algebraicznych - najważniejsze informacje

• Dziedziny podanego wyrażenia określamy przed jego przekształcaniem, czyli np. przed skracaniem.
• Żeby dodać/ odjąć ułamki musimy mieć wspólny mianownik.
• Pamiętamy, że dzielenie to mnożenia przez odwrotność. Należy więc podczas określania dziedziny wyrażenia, w którym należy wykonać dzielenie, zwrócić uwagę na licznik i mianownik dzielnika.

---

Przykład 1. Wyznacz dziedzinę podanych wyrażeń i zapisz je w prostszej postaci:

a) $\frac{2}{x-3}+6$

b) $\frac{x^{}}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}-\frac{2}{x^2-9}$ 

c) $\frac{x^2}{x+4}\cdot \frac{x^2-16}{2x}$

d) $\frac{-5x+25}{x^2}:\frac{x-5}{x^3+15x^2}$

---

Rozwiązanie

a) $\frac{2}{x-3}+6$

Dziedzina:

$x-3\ne 0$

$x\ne 3$

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{3\right\}$

$\frac{2}{x-3}+6=\frac{2}{x-3}+\frac{6\left(x-3\right)}{x-3}=\frac{2+6x-18}{x-3}=\frac{6x-16}{x-3}$

---

b) $\frac{x^{}}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}-\frac{2}{x^2-9}$

Dziedzina:

$\left(x-1\right)\left(x-3\right)\ne 0\text{i}{x}^2-9\ne 0$

$x-1\ne 0\text{i}x-3\ne 0\text{i}{x}^2\ne 9$

$x\ne 1\text{i}x\ne 3\text{i}x\ne 3\text{i}x\ne -3$

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{-3,1,3\right\}$

$\frac{x^{}}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}-\frac{2}{x^2-9}=\frac{x\left(x+3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{2\left(x-1\right)}{\left(x^2-9\right)\left(x-1\right)}=$ 

$=\frac{x^2+3x}{\left(x-1\right)\left(x^2-9\right)}-\frac{2x+2}{\left(x^2-9\right)\left(x-1\right)}=\frac{x^2+3x-2x-2}{\left(x^2-9\right)\left(x-1\right)}=\frac{x^2-x-2}{\left(x^2-9\right)\left(x-1\right)}=$

$=\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{\left(x^2-9\right)\left(x-1\right)}=\frac{x+2}{x^2-9}$

Wyznaczmy pierwiastki trójmianu kwadratowego $-x^2-x-2$ (o ile istnieją).

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9\to \sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3$

$x_1=\frac{1-3}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-2}{-2}=1$                oraz               $x_2=\frac{1+3}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{4}{-2}=-2$

 Więc

$x^2-x-2=\left(x-1\right)\left(x+2\right)$

---

c) $\frac{x^2}{x+4}\cdot \frac{x^2-16}{2x}$

Dziedzina:

$x+4\ne 0\text{i}2x\ne 0$

$x\ne -4\text{i}x\ne 0$

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{-4,0\right\}$

$\frac{x^2}{x+4}\cdot \frac{x^2-16}{2x}=\frac{x^{\cancel{2}}}{\cancel{x+4}}\cdot \frac{\left(x-4\right)\cancel{\left(x+4\right)}}{2\cancel{x}}=\frac{x\left(x-4\right)}{2}=\frac{x^2-4x}{2}$

---

d) $\frac{-5x+25}{x^2}:\frac{x-5}{x^3+15x^2}$

Dziedzina:

$x^2\ne 0\text{i}{x}^3+15x^2\ne 0\text{i}x-5\ne 0$

$x\ne 0\text{i}{x}^2\left(x+15\right)\ne 0\text{i}x\ne 5$ 

Zauważmy, że

$x^2\left(x+15\right)\ne 0$

$x^2\ne 0\text{i}x+15\ne 0$

$x\ne 0\text{i}x\ne -15$

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{-15,0,5\right\}$

$\frac{-5x+25}{x^2}:\frac{x-5}{x^3+15x^2}=\frac{-5\left(x-5\right)}{x^2}:\frac{x-5}{x^2\left(x+15\right)}=\frac{-5\cancel{\left(x-5\right)}}{\cancel{x^2}}\cdot \frac{\cancel{x^2}\left(x+15\right)}{\cancel{\left(x-5\right)}}=$

$=-5\left(x+15\right)=-5x-75$

---

Zadanie 1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wyrażenia $\frac{2}{x+1}-2$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 2$ można zapisać w postaci

A. $-\frac{2x}{x+1}$                                  B. $\frac{4-2x}{x+1}$                                     C. $\frac{2-2x}{x+2}$                                    D.$\frac{4}{x+1}$

Rozwiązanie

$\frac{2}{x+1}-2=\frac{2}{x+1}-\frac{2\left(x+1\right)}{x+1}=\frac{2}{x+1}-\frac{2x+2}{x+1}=$

$=\frac{2-\left(2x+2\right)}{x+1}=\frac{2-2x-2}{x+1}=-\frac{2x}{x+1}$

---

Zadanie 2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne -2$ i $x\ne 5$ wyrażenie $\frac{x+1}{x+2}+\frac{4}{x-5}$ można przekształcić równoważnie do wyrażenia

A. $\frac{x^2-3}{x^2+3x-10}$                            B. $\frac{x+5}{x^2-10}$                              C. $\frac{x^2+3}{x^2-3x-10}$                             D.$\frac{x+12}{x+2}$

Rozwiązanie

$\frac{x+1}{x+2}+\frac{4}{x-5}=\frac{\left(x+1\right)\left(x-5\right)}{\left(x+2\right)\left(x-5\right)}+\frac{4\left(x+2\right)}{\left(x-5\right)\left(x+2\right)}=$

$=\frac{x^2-5x+x-5}{\left(x+2\right)\left(x-5\right)}+\frac{4x+8}{\left(x-5\right)\left(x+2\right)}=\frac{x^2-4x-5+4x+8}{x^2+2x-5x-10}=$

$=\frac{x^2+3}{x^2-3x-10}$ 

---

Zadanie 3. Dane jest wyrażenie $\frac{4\left(x-2\right)}{x^2-4x+4}:\frac{x^2-9}{x^2+x-6}$ . 

Zadanie 3.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dziedziną podanego w zadaniu wyrażenia jest zbiór

A. wszystkich liczb rzeczywistych.

B.  wszystkich liczb rzeczywistych  różnych od $2$ i $3$.   

C. wszystkich liczb rzeczywistych  różnych od $-3$, $2$ i $3$.   

D. wszystkich liczb rzeczywistych  różnych od $-3$, $-2$, $2$ i $3$.   

Rozwiązanie

Dziedzina:

$x^2-4x+4\ne 0\text{i}{x}^2+x-6\ne 0\text{i}{x}^2-9\ne 0$ 

1) $x^2-4x+4={\left(x-2\right)}^2$

${\left(x-2\right)}^2\ne 0$ 

$x-2\ne 0$

$x\ne 2$

2) $x^2+x-6\ne 0$

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25\to \sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$

$x_1=\frac{-1-5}{2\cdot 1}=\frac{-6}{2}=-3$         oraz         $x_2=\frac{-1+5}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2$

 Więc

$x^2-x-2=\left(x-2\right)\left(x+3\right)$

$x\ne 2\text{i}x\ne -3$

3) $x^2-9\ne 0$

$x^2\ne 9$

$x\ne 3\text{i}x\ne -3$

 Zatem

$x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-3,2,3\right\}$

---

 Zadanie 3.2. Uzupełnij poniższe zdanie wpisując w puste miejsce odpowiednią liczbę rzeczywistą. Wynik podaj bez niewymierności w mianowniku.

Wartość podanego w zadaniu wyrażenia dla $x=\sqrt{2}+3$ wynosi .................................. .

Rozwiązanie

$\frac{4\left(x-2\right)}{x^2-4x+4}:\frac{x^2-9}{x^2+x-6}=\frac{4\left(x-2\right)}{{\left(x-2\right)}^2}:\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}=$ 

$=\frac{4}{x-2}:\frac{x-3}{x-2}=\frac{4}{x-2}\cdot \frac{x-2}{x-3}=\frac{4}{x-3}$

Obliczmy wartość tego wyrażenia dla $x=\sqrt{2}+3$:

$\frac{4}{\sqrt{2}+3-3}=\frac{4}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$