Skracanie

Aby skrócić wyrażenie wymierne, należy podzielić licznik i mianownik tego ułamka przez to takie samo wyrażenie (różne od zera). W skracaniu znacznie pomaga rozłożenie licznika i mianownika ułamka na czynniki.

Przykład 2. Wyznacz dziedzinę podanego wyrażenia i uprość je.

$\frac{x^2-4}{x^2-x-2}$

Rozwiązanie

Wyznaczmy pierwiastki trójmianu kwadratowego $x^2-x-2$ (o ile istnieją).

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9\to \sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3$

$x_1=\frac{1-3}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-2}{-2}=1$                oraz               $x_2=\frac{1+3}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{4}{-2}=-2$

 Więc

$x^2-x-2=\left(x-1\right)\left(x+2\right)$

Zatem

$\frac{x^2-4}{x^2-x-2}=\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}$

Dziedzina:

"Zauważmy, że dziedzinę wyznaczamy przez skracaniem ułamka"

$\left(x-1\right)\left(x+2\right)\ne 0$

$x-1\ne 0\text{i}x+2\ne 0$

$x\ne 1\text{i}x\ne -2$

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{-2,1\right\}$

$\frac{\left(x-2\right)\cancel{\left(x+2\right)}}{\left(x-1\right)\cancel{\left(x+2\right)}}=\frac{x-2}{x-1}$

---

TEORIA

Pierwiastki (miejsca zerowe) funkcji kwadratowej

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$,   gdzie $a\ne 0$

$\Delta =b^2-4ac$

Dla $\Delta >0$ funkcja ta ma dwa pierwiastki postaci:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

$f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$

---

---

Rozszerzanie

Aby móc wykonywać dodawanie lub odejmowanie dwóch wyrażeń wymiernych o różnych mianownikach, trzeba, tak jak to było w zwykłych ułamkach- sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu często wykonujemy rozszerzanie ułamka, które polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez takie samo wyrażenie (różne od zera).

Przykład 3. Rozszerz ułamek $\frac{x+2}{x^2-x}$ w taki sposób, by w mianowniku powstało wyrażenie $x^3-x$.

Rozwiązanie

$\frac{x+2}{x^2-x}=\frac{?}{x^3-x}$

"Rozpoczniemy od rozkładu mianowników tych ułamków na postać iloczynową"

$\frac{x+2}{x\left(x-1\right)}=\frac{?}{x\left(x^2-1\right)}$

$\frac{x+2}{x\left(x-1\right)}=\frac{?}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$

Należy więc rozszerzyć ułamek $\frac{x+2}{x^2-x}$ przez wyrażenie $x+1$.

"Należy więc pomnożyć licznik i mianownik ułamka po lewej stronie przez wyrażenie x dodać 1."

$\frac{\left(x+2\right)\cdot \left(x+1\right)}{x\left(x-1\right)\cdot \left(x+1\right)}=\frac{x^2+2x+x+2}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x^2+3x+2}{x^3-x}$

Poznałeś już metody przekształceń ułamków algebraicznych, które przydają ci się w kolejnym temacie, który jest poświęcony działaniom na ułamkach algebraicznych. Przećwiczmy jeszcze poznane przed chwilą zasady na kilku zadaniach typu maturalnego.

---

Zadanie 1. Dane jest wyrażenie $\frac{x^3+5x^2}{2x^2\left(x^2+2x-15\right)}$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe
lub F - jeśli jest fałszywe.

Wyrażenie to można przekształcić równoważnie do wyrażenia $\frac{1}{2x-6}$.	P	F
Wartość tego wyrażenia jest określona dla $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-5,3\right\}$.	P	F

Rozwiązanie

Wyznaczmy pierwiastki trójmianu kwadratowego $x^2+2x-15$ (o ile istnieją).

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left(-15\right)=4+60=64\to \sqrt{\Delta }=\sqrt{64}=8$

$x_1=\frac{-2-8}{2\cdot 1}=\frac{-10}{2}=-5$                oraz               $x_2=\frac{-2+8}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3$

 Więc

$x^2+2x-15=\left(x+5\right)\left(x-3\right)$

Zatem

$\frac{x^3+5x^2}{2x^2\left(x^2+2x-15\right)}=\frac{x^2\left(x+5\right)}{2x^2\left(x+5\right)\left(x-3\right)}$

Dziedzina:

"Oczywiście dziedzinę wyznaczamy przez skracaniem ułamka"

$2x^2\left(x+5\right)\left(x-3\right)\ne 0$

$2x^2\ne 0\text{i}x+5\ne 0\text{i}x-3\ne 0$

$x^2\ne 0\text{i}x\ne -5\text{i}x\ne 3$

$x\ne 0\text{i}x\ne -5\text{i}x\ne 3$

$D=\mathbb{R}\setminus \left\{-5,0,3\right\}$

Zdanie drugie jest fałszywe.

$\frac{\cancel{x^2}\cancel{\left(x+5\right)}}{2\cancel{x^2}\cancel{\left(x+5\right)}\left(x-3\right)}=\frac{1}{2\left(x-3\right)}$

Zdanie pierwsze

$\frac{1}{2\left(x-3\right)}=\frac{1}{2x-6}$

Zdanie jest prawdziwe.

---

 Zadanie 2. Dane są liczby $a=\frac{x+2}{x^2+4}$ i $b=\frac{3}{x+2}$.

Wskaż dwie poprawne odpowiedzi dotyczące liczb $a$ i $b$ spośród podanych poniżej.

A. Wartość wyrażenia $a$ jest określona dla $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{2,-2\right\}$.

B. Aby liczby $a$ i $b$ miały wspólne mianowniki, wystarczy liczbę$b$ rozszerzyć przez $\left(x-2\right)$.

C. Wartość wyrażenia $b$ jest określona dla $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{2\right\}$.

D. Aby liczby $a$ i $b$ miały wspólne mianowniki, wystarczy liczbę$a$ rozszerzyć przez $\left(x+2\right)$, a liczbą $b$ rozszerzyć przez $\left(x^2+4\right)$.

E. Wartość wyrażenia $a$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej.

F. Liczbę $a$ można zapisać w postaci $a=\frac{1}{x^{}-2}$.

Rozwiązanie

Zdania A, C, E

$a=\frac{x+2}{x^2+4}$

Dziedzina:

$x^2+4\ne 0$

$x^2\ne -4$

zawsze prawda

$x\in \mathbb{R}$

Wartość wyrażenia $a$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej.

$b=\frac{3}{x+2}$

Dziedzina:

$x^{}+2\ne 0$

$x^{}\ne -2$

$x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-2\right\}$

Wartość wyrażenia $b$ jest określona dla $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-2\right\}$.

Zdanie B

$b=\frac{3}{x+2}=\frac{3\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\frac{3x-6}{x^2-4}$

$a=\frac{x+2}{x^2+4}$

Mianowniki ułamków nie są takie same.

Zdanie D

 $a=\frac{x+2}{x^2+4}=\frac{\left(x+2\right)\left(x+2\right)}{\left(x^2+4\right)\left(x+2\right)}$

$b=\frac{3}{x+2}=\frac{3\left(x^2+4\right)}{\left(x+2\right)\left(x^2+4\right)}$

Mianowniki ułamków są takie same.

 

---