Zadanie 4. Pierwszy, drugi i piąty wyraz pewnego rosnącego ciągu arytmetycznego tworzą ciąg geometryczny. Pierwszy wyraz podanego ciągu arytmetycznego jest równy $2$.
Oblicz sumę piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$\left(a_n\right)$ – rosnący ciąg arytmetyczny ($r>0$, bo ciąg jest rosnący)
$a_1=2$
$a_2=a_1+r=2+r=r+2$
$a_5=a_1+4r=2+4r=4r+2$

$\left(a_1,a_2,a_5\right)$ – ciąg geometryczny
${\left(a_2\right)}^2=a_1\cdot a_5$
${\left(r+2\right)}^2=2\cdot \left(4r+2\right)$
$r^2+4r+4=8r+4$
$r^2-4r=0$
$r\left(r-4\right)=0$
$\begin{array}{ccc}\underbrace{r=0}& \text{lub}& r-4=0\\ \text{odrzucamy}& & r=4\end{array}$