Zadanie 2. Udowodnij, że w ciągu $\left(a_n\right)$ określonym dla liczb naturalnych $n\ge 1$ wzorem $a_n=-n^2+2n+8$ są dokładnie trzy wyrazy dodatnie. 

Rozwiązanie

Chcemy pokazać, że w tym ciągu są dokładnie trzy liczby naturalne dodatnie $n$, dla których:

$a_n>0$

$-n^2+2n+8>0$

$\Delta =2^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 8=4+32=36\to \sqrt{\Delta }=6$

$n_1=\frac{-2-6}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-8}{-2}=4,n_2=\frac{-2+6}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{4}{-2}=-2$