Przykład 2. Który wyraz ciągu $\left(a_n\right)$ określonego dla liczb naturalnych $n⩾1$ wzorem $a_n=2n^2-35n+12$ jest równy $-5$?

Szukamy liczby naturalnej dodatniej $n$, dla której zachodzi:

$a_n=-5$

$2n^2-35n+12=-5|+5$

$2n^2-35n+17=0$

$\Delta =(-35{)}^2-4\cdot 2\cdot 17=1225-136=1089,\sqrt{\Delta }=33$

$n_1=\frac{35-33}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\notin {\mathbb{N}}_{+}\leftarrow$odrzucamy

$n_2=\frac{35+33}{2\cdot 2}=\frac{68}{4}=17\in {\mathbb{N}}_{+}$

$a_n=-5\text{dla}n=17$

Odp.: Siedemnasty wyraz tego ciągu jest równy $-5$.