$\{\begin{array}{l}{a}_1=\sqrt{5}-1\\ (q+1)(q^2-3q+1)=0\end{array}$

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot 1=5$    $\to$    $\sqrt{\Delta }=\sqrt{5}$
$q_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx 2,618$,    $q_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0,382$

Skoro suma wszystkich wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$ istnieje, to $q\in (-1,1)$, więc $q=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\sqrt{5}-1}{1-\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=$
$=\frac{\sqrt{5}-1}{\frac{2-(3-\sqrt{5})}{2}}=\frac{\sqrt{5}-1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=2$

Odp.: Suma wszystkich wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$ jest równa $2$.