Twierdzenie o zbieżności szeregu geometrycznego

Szereg geometryczny $a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+\dots$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $\left|q\right|<1$.
Jeżeli szereg geometryczny jest zbieżny, to jego suma $S$ dana jest wzorem:

$S=\frac{a_1}{1-q}$

Dowód

Załóżmy, że $\left|q\right|<1$. Wtedy $q\ne 1$, więc mamy:

 $a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+\dots =\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}=a_1\cdot \frac{1}{1-q}$

Natomiast jeżeli $\left|q\right|\ge 1$, to szereg geometryczny jest rozbieżny, to znaczy $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ albo rozbiega do $\pm \infty$, albo nie istnieje.                                                                                          $■$