8- Zadanie 8: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_{n})$ . Suma jego wszystkich wyrazów jest
równa $5$ . Ponadto spełnione jest $a_{1} - a_{2} = \frac{4}{5}$ .
Wyznacz wzór ogólny na $n$ -ty wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

${a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots = 5 a_{1} - a_{2} = \frac{4}{5}$

$a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots = \frac{a _{1}}{1 - q} = 5$
$a_{1} = 5 (1 - q)$

$a_{1} - a_{2} = \frac{4}{5}$
$a_{1} - a_{1} q = \frac{4}{5}$
$a_{1} (1 - q) = \frac{4}{5}$
$5 (1 - q) (1 - q) = \frac{4}{5}$ $∣ : 5$

$(1 - q)^{2} = \frac{4}{25}$ $∣$
$1 - q = \frac{2}{5}$ $\lor$ $1 - q = - \frac{2}{5}$
$- q = - \frac{3}{5}$ $- q = - 1 \frac{2}{5}$
$q = \frac{3}{5} \in (- 1, 1)$ $q = 1 \frac{2}{5} \in / (- 1, 1)$