Iloraz ciągu: $q=\frac{-\frac{6x}{x-1}}{2x}=\frac{3}{1-x}$

Sprawdzamy, dla jakich $x\in \mathbb{R}\setminus \{0,1\}$ iloraz
należy do przedziału $\left(-1,1\right)$:

$\left|\frac{3}{1-x}\right|<1$   $\to$   $\frac{3}{\left|1-x\right|}<1$   $\to$   $\left|1-x\right|>3$
$1-x>3$    $\vee$    $1-x<-3$
   $x<-2$    $\vee$    $x>4$
Szereg istnieje dla $x\in (-\infty ,-2)\cup (4,\infty )$.

Suma wszystkich wyrazów ciągu: 
$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{2x}{1-\frac{3}{1-x}}=\frac{15}{2}$    $|\cdot \left(1-\frac{3}{1-x}\right)$
$2x=\frac{15}{2}\left(1-\frac{3}{1-x}\right)$    $|\cdot 2(1-x)$
$4x\left(1-x\right)=15\left(1-x-3\right)$
$4x-4x^2=-15x-30$
$4x^2-19x-30=0$