Suma wyrazów ciągu geometrycznego o numerach nieparzystych

Jeżeli $\left(a_n\right)$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q$ spełniającym $\left|q\right|<1$ to zachodzi

$a_1+a_3+a_5+a_7+\dots =\frac{a_1}{1-q^2}$

bo ciąg $\left(a_1,a_3,a_5,a_7,\dots \right)=\left(a_1,a_1{q}^2,a_1{q}^4,a_1{q}^6,\dots \right)$ jest ciągiem geometrycznym, którego pierwszy wyraz to $a_1$, a iloraz to $q^2$.

Suma wyrazów ciągu geometrycznego o numerach parzystych

Jeżeli $\left(a_n\right)$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q$ spełniającym $\left|q\right|<1$ to zachodzi

$a_2+a_4+a_6+a_8+\dots =\frac{a_{1}q}{1-q^2}$

bo ciąg $\left(a_2,a_4,a_6,a_8,\dots \right)=(a_{1}q,a_1{q}^3,a_1{q}^5,a_1{q}^7,\dots )$ jest ciągiem geometrycznym, którego pierwszy wyraz to $a_{1}q$, a iloraz to $q^2$.