Ciekawe zastosowanie szeregów geometrycznych

Twierdzenie: $0,(9)=1$

Dowód

Zauważmy, że zachodzi następująca równość:

$0,(9)=0,999\dots =0,9+0,09+0,009+\dots =\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\dots =$
$=\frac{9}{10}+\frac{9}{10}\cdot \frac{1}{10}+\frac{9}{10}\cdot \frac{1}{100}+\dots =\dots$

Powyższa suma to suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz jest równy $\frac{9}{10}$, a iloraz to $\frac{1}{10}$. W takim razie mamy:

$\dots =\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}}=1$                                                                                                                  $■$