6.1- Zadanie 6.1: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

W nieskończonym ciągu geometrycznym $(a_{n})$ o wyrazach ujemnych spełniony jest warunek

$a_{1}^{3} = 5 (a_{1} - a_{3})$

Suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych jest równa $4$ .

Wyznacz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(a_{n})$ . Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$a_{1}^{3} = 5 (a_{1} - a_{3})$
$a_{1}^{3} = 5 (a_{1} - a_{1} q^{2})$
$a_{1}^{3} = 5 a_{1} (1 - q^{2})$ $∣ : a_{1} \neq = 0$
$a_{1}^{2} = 5 (1 - q^{2})$

$(a_{1}^{2}, a_{3}^{2}, a_{5}^{2}, a_{7}^{2}, \dots) =$
$= (a_{1}^{2}, (a_{1} q^{2})^{2}, (a_{1} q^{4})^{2}, (a_{1} q^{6})^{2}, \dots) =$
$= (a_{1}^{2}, a_{1}^{2} q^{4}, a_{1}^{2} q^{8}, a_{1}^{2} q^{12}, \dots)$
to ciąg geometryczny, którego
pierwszy wyraz to $a_{1}^{2}$ , a iloraz to $q^{4}$ .
$a_{1}^{2} + a_{3}^{2} + a_{5}^{2} + a_{7}^{2} + \dots = \frac{a _{1}^{2}}{1 - q ^{4}} = 4$

$\frac{5 ( 1 - q ^{2} )}{1 - q ^{4}} = 4$
$\frac{5 ( 1 - q ^{2} )}{( 1 - q ^{2} ) ( 1 + q ^{2} )} = 4$
$\frac{5}{1 + q ^{2}} = 4$
$5 = 4 (1 + q^{2})$
$5 = 4 + 4 q^{2}$
$q^{2} = \frac{1}{4}$
$q = \frac{1}{2}$ $\lor$ $q = - \frac{1}{2}$