Rozwiązanie

Boki kolejnych kwadratów: $b_1$, $b_2$, $b_3$ itd.
$x:y=1:3$,    $x+y=a$
$y=3x$    $\to$    $x+3x=a$
$x=\frac{a}{4}$,    $y=\frac{3a}{4}$

Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

$b_2^2=x^2+y^2={\left(\frac{a}{4}\right)}^2+{\left(\frac{3a}{4}\right)}^2=\frac{a^2}{16}+\frac{9a^2}{16}$

$b_2^2=\frac{10a^2}{16}$    $\to$    $b_2=a\cdot \frac{\sqrt{10}}{4}$

Boki kolejnych kwadratów, czyli $b_3$, $b_4$, $b_5$, $\dots$
powstają w ten sam sposób tzn.
$b_3=b_2\cdot \frac{\sqrt{10}}{4}$,  $b_4=b_3\cdot \frac{\sqrt{10}}{4}$,  $b_5=b_4\cdot \frac{\sqrt{10}}{4}$   itd.

Ciąg obwodów $\left(4b_1,4b_2,4b_3,\dots \right)$ to nieskończonyciąg geometryczny,
którego pierwszym wyrazem jest $4b_1=4a$,
a ilorazem jest $q=\frac{\sqrt{10}}{4}\approx 0,79\in (-1,1)$.

$4b_1+4b_2+4b_3+\dots =\frac{4b_1}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}=\frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}$

Odp.: Suma obwodów wszystkich kwadratów jest równa $\frac{4a}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}$.