7- Zadanie 7: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Ciąg $(a_{n})$ , określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ , jest geometryczny i suma jego wszystkich wyrazów istnieje. Pierwszym wyrazem tego ciągu jest liczba $5 - 1$ i spełniona jest zależność $a_{1} + a_{4} = 2 (a_{2} + a_{3})$ .
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$a_{1} + a_{4} = 2 (a_{2} + a_{3})$
$a_{1} + a_{1} q^{3} = 2 (a_{1} q + a_{1} q^{2})$
$a_{1} (1 + q^{3}) = 2 a_{1} (q + q^{2})$ $∣ : a_{1} \neq = 0$
$1 + q^{3} = 2 q + 2 q^{2}$
$q^{3} - 2 q^{2} - 2 q + 1 = 0$
$(q^{3} + 1) + (- 2 q^{2} - 2 q) = 0$
$(q^{3} + 1) - 2 q (q + 1) = 0$
$(q + 1) (q^{2} - q + 1) - 2 q (q + 1) = 0$
$(q + 1) (q^{2} - q + 1 - 2 q) = 0$
$(q + 1) (q^{2} - 3 q + 1) = 0$
$q = - 1 \in / (- 1, 1)$ $\to$ $q \neq = - 1$

$Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5$ $\to$ $Δ = 5$
$q_{1} = \frac{3 + 5}{2} \approx 2, 618$ , $q_{2} = \frac{3 - 5}{2} \approx 0, 382$

Skoro suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_{n})$ istnieje, to $q \in (- 1, 1)$ , więc $q = \frac{3 - 5}{2}$ .

$S = \frac{a _{1}}{1 - q} = \frac{5 - 1}{1 - \frac{3 - 5}{2}} = \frac{5 - 1}{\frac{2 - ( 3 - 5 )}{2}} =$
$= \frac{5 - 1}{\frac{5 - 1}{2}} = 2$ Odp.: $S = 2$