Podczas tej lekcji

• dowiecie się, jak określić przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej
• nauczycie się ustalić zbiór wartości funkcji kwadratowej
• przećwiczycie, jak wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej
  (o ile istnieją)
• poznacie równanie osi symetrii paraboli

---

Przykład 1.  Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f\left(x\right)=x^2-2x-3$. Na podstawie wykresu określ współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji $f$. Określ przedziały monotoniczności, zbiór wartości, najmniejszą i największą wartość funkcji (o ile istnieją). Wyznacz równanie osi symetrii wykresu funkcji $f$.

Rozwiązanie:

Wierzchołek:   $W\left(1,-4\right)$

Przedziały monotoniczności: 

• funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\left(-\infty ,1\right]$
• funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $[1,\infty )$

Zbiór wartości:   $Z{W}_f=[-4,\infty )$

Funkcja $f$ przyjmuje wartość najmniejszą równą $\left(-4\right)$ dla argumentu $1$.

Oś symetrii paraboli:   $x=1$

---

Przedziały monotoniczności: funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $\left[p,\infty \right)$ funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\left(-\infty ,p\right]$ Zbiór wartości:   $Z{W}_f=[q,\infty )$ Funkcja $f$ przyjmuje wartość najmniejszą, równą $q$ dla argumentu $p$. Oś symetrii paraboli ma równanie   $x=p$.	Przedziały monotoniczności: funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $(-\infty ,p]$ funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\left[p,\infty \right)$ Zbiór wartości:   $Z{W}_f=(-\infty ,q]$ Funkcja $f$ przyjmuje wartość największą, równą $q$ dla argumentu $p$. Oś symetrii paraboli ma równanie  $x=p$.

---

Przykład 2. Do wykresu funkcji kwadratowej $f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2-4x-3$ należy punkt $P=\left(-2,3\right)$. Określ równanie prostej będącej osią symetrii wykresu funkcji $f$, a następnie znajdź punkt symetryczny do punktu $P$ względem tej prostej.

Rozwiązanie: 

$p=-\frac{-4}{2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{4}{-1}=-4$

$q=f\left(-4\right)=-\frac{1}{2}\cdot {\left(-4\right)}^2-4\cdot \left(-4\right)-3=-8+16-3=5$

Wierzchołek: $W\left(-4,5\right)$

Oś symetrii paraboli ma równanie $x=-4$

Niech $M=\left(x,y\right)$ - punkt symetryczny do $P=\left(-2,3\right)$ względem prostej $x=-4$

$y=3$

$x=-4-2=-6$

$M=\left(-6,3\right)$

Odp. Punkt symetryczny do punktu $P$ względem prostej $x=-4$ ma współrzędne $\left(-6,3\right)$.

---

Twierdzenie 

Niech $p$ będzie pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Jeżeli dla pewnych liczb rzeczywistych $x_1$ i $x_2$ zachodzi warunek $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$, to $p=\frac{x_1+x_2}{2}$.

---

Zadanie 1.  Funkcje $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ oraz $F$ są określone dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wzory tych funkcji podano poniżej. 
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Przedział $[-3,\infty )$ jest zbiorem wartości funkcji ............. oraz ............. .

A. $A\left(x\right)={\left(x+5\right)}^2-3$ 

B. $B\left(x\right)=-x^2-3$ 

C. $C\left(x\right)=3x^2+6x$ 

D. $D\left(x\right)=-{\left(x+3\right)}^2$ 

E.  $E\left(x\right)=5{\left(x+3\right)}^2$ 

F. $F\left(x\right)=2x^2-4x-1$  

---

Zadanie 2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. 
Maksymalnym przedziałem, w którym funkcja kwadratowa $f\left(x\right)=-3{\left(x+2025\right)}^2+2025$ jest rosnąca, jest przedział

A. $(-\infty ,-2025]$

B. $[-2025,\infty )$

C. $(-\infty ,2025]$

D. $[2025,\infty )$

Rozwiązanie:

$f\left(x\right)=-3{\left(x+2025\right)}^2-2025=3{\left(x-\left(-2025\right)\right)}^2+2025$

$a=-3<0$ - ramiona paraboli są skierowane do dołu

$p=-2025q=2025$

Funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale $\left(-\infty ,-2025\right]$. 

---

Zadanie 3. Wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku $W\left(5,9\right)$. 

Zadanie 3.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. 
Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f$ jest prosta o równaniu

A. $x=9$

B. $x=5$

C. $y=9$

D. $y=5$

Zadanie 3.2 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. 

Dla funkcji $f$ prawdziwa jest równość

A. $f\left(-3\right)=f\left(5\right)$

B. $f\left(-3\right)=f\left(9\right)$

C. $f\left(-3\right)=f\left(7\right)$

D. $f\left(-3\right)=f\left(13\right)$

Rozwiązanie 3.1:

$p=5$

Oś symetrii paraboli ma równanie $x=5$.

Rozwiązanie 3.2 

Jeżeli $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$, to $p=\frac{x_1+x_2}{2}$.

$x_1=-3$

$p=5$

$x_2=?$

$5=\frac{-3+x_2}{2}|\cdot 2$

$10=-3+x_2|+3$

$x_2=13$

Zatem

$f\left(-3\right)=f\left(13\right)$