Podczas tej lekcji:

• poznasz postać kanoniczną wzoru funkcji kwadratowej
• nauczysz się wyznaczać współrzędne wierzchołka paraboli

 

 

 

---

Przykład 1.  Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2$. Naszkicuj wykres funkcji $g$, która powstaje poprzez przesunięcie równoległe wykresu funkcji $f$o $3$ jednostki w prawo wzdłuż osi $Ox$ i $1$ jednostkę w dół wzdłuż osi $Oy$ . Zapisz wzór funkcji $g$ i odczytaj z wykresu współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $g$.

Rozwiązanie

$y=f\left(x\right)\stackrel{\to \text{o}3}{\to }y=f(x-3)\stackrel{\downarrow \text{o}2}{\to }y=f(x-3)-2$

$g\left(x\right)=f\left(x-3\right)-2=\frac{1}{2}{\left(x-3\right)}^2-2$

Wierzchołek: $W\left(3,-2\right)$ 

---

$y=a{x}^2\stackrel{\leftrightarrow \text{o}p}{\to }a(x-p{)}^2\stackrel{\updownarrow \text{o}q}{\to }y=a(x-p{)}^2+q$ 

Wierzchołek: $W\left(p,q\right)$

Definicja:

 Postacią kanoniczną wzoru funkcji kwadratowej $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$, gdzie $a\ne 0$ nazywamy wzór $f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q$, gdzie punkt $W\left(p,q\right)$ jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji $f$.

---

Przykład 2.  Na podstawie wzoru funkcji kwadratowej $f$ w postaci kanonicznej określ współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji.

a) $f\left(x\right)={\left(x+5\right)}^2-4$	b) $f\left(x\right)={\left(x-7\right)}^2$	c) $f\left(x\right)=-2x^2+\frac{1}{3}$
$f\left(x\right)={\left(x-\left(-5\right)\right)}^2+\left(-4\right)$	$f\left(x\right)={\left(x-7\right)}^2+0$	$f\left(x\right)=-2{\left(x-0\right)}^2+\frac{1}{3}$
$p=-5$,    $q=-4$	$p=7$,    $q=0$	$p=0$,    $q=\frac{1}{3}$
Wierzchołek:    $W=\left(-5,-4\right)$	Wierzchołek:    $W\left(7,0\right)$	Wierzchołek:    $W\left(0,\frac{1}{3}\right)$

 

---

Twierdzenie 

Parabola będąca wykresem funkcji kwadratowej $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$, gdzie $a\ne 0$ ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych $W\left(p,q\right)$, gdzie

$\begin{array}{ccc}& p=-\frac{b}{2a},& q=-\frac{\Delta }{4a}\end{array}$

gdzie $\Delta =b^2-4ac$

Definicja

Wyrażenie $\Delta =b^2-4ac$ nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego $y=a{x}^2+bx+c.$

---

Przykład 3. Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji $f\left(x\right)=-x^2+4x+3$, a następnie zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.

Rozwiązanie

$\begin{array}{ccc}a=-1& b=4& c=3\end{array}$

$p=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot \left(-1\right)}=-\frac{4}{-2}=-\left(-2\right)=2$

$q=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{28}{4\cdot \left(-1\right)}=-\frac{28}{-4}=-\left(-7\right)=7$

$\Delta =b^2-4ac=4^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 3=16+12=28$

Wierzchołek paraboli ma współrzędne $W\left(2,7\right)$.

Postać kanoniczna: $f\left(x\right)=-{\left(x-2\right)}^2+7$

$a=-1$

$p=2$

$q=f\left(p\right)=f\left(2\right)=-2^2+4\cdot 2+3=-4+6+3=7$

Postać kanoniczna: $f\left(x\right)=-{\left(x-2\right)}^2+7$

---

Zadanie 1. Dana jest funkcja kwadratowa $y=f\left(x\right)$, której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych na rysunku obok.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych, jeżeli wiadomo, że jeden ze wzorów podanych w odpowiedziach A-D to wzór funkcji $f$.
Funkcja kwadratowa $y=f\left(x\right)$ jest określona wzorem

A. $f\left(x\right)=-{\left(x-3\right)}^2+4$ 

B. $f\left(x\right)=-{\left(x+3\right)}^2+4$ 

C. $f\left(x\right)={\left(x-3\right)}^2-4$ 

D. $f\left(x\right)=-{\left(x+3\right)}^2+4$ 

Rozwiązanie:

$a<0$ - ramiona paraboli są skierowane do dołu.

$p=-3$

$q=4$

$f\left(x\right)=a{\left(x-\left(-3\right)\right)}^2+4$

$f\left(x\right)=\underset{\begin{array}{c}\uparrow \\ <0\end{array}}{a}{\left(x+3\right)}^2+4$

---

Zadanie 2. Funkcja kwadratowa określona jest wzorem $f\left(x\right)=2x^2+4x-1$. 
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. 
Fragment wykresu funkcji $f$ przedstawiono na rysunku.

Rozwiązanie:

$\begin{array}{ccc}a=2& b=4& c=-1\end{array}$

$a>0$ - ramiona paraboli są skierowane do góry.

$p=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 2}=-\frac{4}{4}=-1$

$q=f\left(-1\right)=2\cdot {\left(-1\right)}^2+4\cdot \left(-1\right)-1=2\cdot 1-4-1=-3$

$W\left(-1,-3\right)$

---

Zadanie 3.  Funkcja kwadratowa jest fana wzorem $f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+bx+c$. Punkt $W=\left(-4,11\right)$ jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wyznacz liczby $b$ i $c$. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+bx+c$,$⟶b=\text{?}$, $c=\text{?}$

$a=-\frac{1}{2}$ 

$p=-4$ 

$q=11$

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{\left(x-\left(-4\right)\right)}^2+11=-\frac{1}{2}{\left(x+4\right)}^2+11$

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(x^2+2\cdot x\cdot 4+4^2\right)+11=-\frac{1}{2}\left(x^2+8x+16\right)+11=$

$=-\frac{1}{2}\left(x^2-4x-\right)$