Podczas tej lekcji

dowiecie się, jak określić przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej
nauczycie się ustalić zbiór wartości funkcji kwadratowej
przećwiczycie, jak wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej
(o ile istnieją)
poznacie równanie osi symetrii paraboli

Przykład 1. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej . Na podstawie wykresu określ współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji . Określ przedziały monotoniczności, zbiór wartości, najmniejszą i największą wartość funkcji (o ile istnieją). Wyznacz równanie osi symetrii wykresu funkcji .

Rozwiązanie:

Wierzchołek:

Przedziały monotoniczności:

funkcja jest malejąca w przedziale
funkcja jest rosnąca w przedziale

Zbiór wartości:

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą dla argumentu .

Oś symetrii paraboli:

Przedziały monotoniczności:

funkcja jest rosnąca w przedziale
funkcja jest malejąca w przedziale

Zbiór wartości:

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą dla argumentu .

Oś symetrii paraboli ma równanie .

Przedziały monotoniczności:

funkcja jest rosnąca w przedziale
funkcja jest malejąca w przedziale

Zbiór wartości:

Funkcja przyjmuje wartość największą, równą dla argumentu .

Oś symetrii paraboli ma równanie .

Przykład 2. Do wykresu funkcji kwadratowej należy punkt . Określ równanie prostej będącej osią symetrii wykresu funkcji , a następnie znajdź punkt symetryczny do punktu względem tej prostej.

Rozwiązanie:

Wierzchołek:

Oś symetrii paraboli ma równanie

Niech - punkt symetryczny do względem prostej

Odp. Punkt symetryczny do punktu względem prostej ma współrzędne .

Twierdzenie

Niech będzie pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej . Jeżeli dla pewnych liczb rzeczywistych i zachodzi warunek , to .

Zadanie 1. Funkcje , , , , oraz są określone dla każdej liczby rzeczywistej . Wzory tych funkcji podano poniżej.
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Przedział jest zbiorem wartości funkcji ............. oraz ............. .

A.

B.

C.

D.

E.

F.

Zadanie 2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Maksymalnym przedziałem, w którym funkcja kwadratowa jest rosnąca, jest przedział

A.

B.

C.

D.

Rozwiązanie:

- ramiona paraboli są skierowane do dołu

Funkcja jest rosnąca w przedziale .

Zadanie 3. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku .

Zadanie 3.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej jest prosta o równaniu

A.

B.

C.

D.

Zadanie 3.2 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla funkcji prawdziwa jest równość

A.

B.

C.

D.

Rozwiązanie 3.1:

Oś symetrii paraboli ma równanie .

Rozwiązanie 3.2

Jeżeli , to .

Zatem