usunięte 7- Zadanie usunięte 7: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym $(a, b, c)$ spełniona jest równość $a + b + c = 19$ .
Ciąg $(c + 1, - b, a + b)$ jest ciągiem arytmetycznym. Wiemy też, że $c > a$ .
Oblicz $a$ , $b$ oraz $c$ . Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$(a, b, c)$ $\leftarrow$ ciąg geometryczny
$(c + 1, - b, a + b)$ $\leftarrow$ ciąg arytmetyczny
$a + b + c = 19$
$c > a$

$(2)$ $- b = \frac{c + 1 + a + b}{2} = \frac{19 + 1}{2} = 10$
$b = - 10$

$(1)$ $b = a q$ $\to$ $a = - \frac{10}{q}$
$c = b q$ $\to$ $c = - 10 q$

$(3)$ $a - 10 + c = 19$
$a + c = 29$

$- \frac{10}{q} - 10 q = 29$ $∣ \cdot (- q)$
$10 + 10 q^{2} = - 29 q$
$10 q^{2} + 29 q + 10 = 0$
$Δ = 2 9^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 10 = 441$ $\to$ $Δ = 21$
$q = \frac{- 29 - 21}{2 \cdot 10} = - \frac{5}{2}$ $\lor$ $q = \frac{- 29 + 21}{2 \cdot 10} = - \frac{2}{5}$

$(4)$ Mamy $c = a q^{2}$ , więc żeby spełnione było
$c > a$ potrzebujemy $q^{2} > 1$ , czyli $q = - \frac{5}{2}$ .
$a = - \frac{10}{q} = 4$ , $c = - 10 q = 25$