$(a,b,c)$    $\leftarrow$    ciąg geometryczny
$(c+1,-b,a+b)$    $\leftarrow$    ciąg arytmetyczny            $\to$
$a+b+c=19$

$(2)$ $-b=\frac{c+1+a+b}{2}=\frac{20}{2}=10$
       $b=-10$

      $\{\begin{array}{l}(-10{)}^2=ac\\ b=-10\\ a-10+c=19\end{array}$ 
        

$(3)$ $a-10+c=19$
       $a=29-c$ 

      $\{\begin{array}{l}(-10{)}^2=(29-c)c\\ b=-10\\ a=29-c\end{array}$

$(1)$ ${\left(-10\right)}^2=\left(29-c\right)c$
       $100=29c-c^2$
       $c^2-29c+100=0$
       $\Delta =441$    $\to$    $\sqrt{\Delta }=21$ 

       $c_1=\frac{29+21}{2}=\frac{50}{2}=25$ 
       $c_2=\frac{29-21}{2}=\frac{8}{2}=4$