1- Zadanie 1: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Dany jest pewien ciąg geometryczny $(a_{n})$ o wyrazach dodatnich i pewna liczba $p > 2$ , przy czym $q \neq = 1$ . Prawdziwa jest równość $S_{4} = p \cdot S_{2}$ .
Wykaż, że ciąg $(a_{n})$ jest rosnący.

Rozwiązanie

Wiemy, że $q \neq = 1$ .

$S_{4} = a_{1} \cdot \frac{1 - q ^{4}}{1 - q}$ , $S_{2} = a_{1} \cdot \frac{1 - q ^{2}}{1 - q}$

$a_{1} \cdot \frac{1 - q ^{4}}{1 - q} = p \cdot a_{1} \cdot \frac{1 - q ^{2}}{1 - q}$ $\cdot \frac{1 - q}{a _{1}}$

$1 - q^{4} = p (1 - q^{2})$

$(1 - q^{2}) (1 + q^{2}) = p (1 - q^{2})$
Ciąg ma wyrazy dodatnie, więc $q \neq = - 1$ ,
i wiemy, że $q \neq = 1$ , czyli możemy podzielić obustronnie przez $(1 - q^{2})$ .

$(1 - q^{2}) (1 + q^{2}) = p (1 - q^{2}) ∣ : (1 - q^{2})$
$1 + q^{2} = p$
$q^{2} = p - 1$
$q = \pm p - 1$

Skoro ciąg ma wyrazy dodatnie, to $q$ nie może być ujemne, więc mamy $q = p - 1$ .

$q = p - 1 > 2 - 1 = 1$
Iloraz ciągu geometrycznego jest w takim razie większy od $1$ . Wyrazy ciągu $(a_{n})$ są dodatnie, a to oznacza, że ciąg ten jest rosnący. $■$