2.1- Zadanie 2.1: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Dane są dwa ciągi o wyrazach dodatnich: $(a_{n})$ arytmetyczny i $(b_{n})$ geometryczny. Pierwszy wyraz ciągu $(a_{n})$ jest ilorazem ciągu $(b_{n})$ , a pierwszy wyraz ciągu $(b_{n})$ jest różnicą ciągu $(a_{n})$ . Ponadto, suma $5$ początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest równa $0$ , a suma $3$ pierwszych wyrazów ciągu $(b_{n})$ jest równa $3$ .
Wyznacz wzory ogólne ciągów $(a_{n})$ i $(b_{n})$ . Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$⎩ ⎨ ⎧ a_{1} = q b_{1} = r a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 0 b_{1} + b_{2} + b_{3} = 3$

$(3)$ $\frac{2 a _{1} + 4 r}{2} \cdot 5 = 0$ $\to$ $2 a_{1} + 4 r = 0$
Z $(1)$ mamy: $2 q + 4 r = 0$ $\to$ $q = - 2 r$

$(4)$ $b_{1} + b_{1} q + b_{1} q^{2} = b_{1} (1 + q + q^{2}) = 3$
Z $(2)$ mamy: $r (1 + q + q^{2}) = 3$
$r (1 - 2 r + 4 r^{2}) = 3$
$4 r^{3} - 2 r^{2} + r - 3 = 0$

Z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu wynika, że jeśli wielomian $W (r) = 4 r^{3} - 2 r^{2} + r - 3$ ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem liczby $- 3$ .