$(3)$ $y=x+r$,    $z=x+5r$

$(2)$ $x+\left(x+r\right)+\left(x+5r\right)=3x+6r=105$
       $x+2r=35$    $\to$    $x=35-2r$
    $\{\begin{array}{l}x=35-2r\\ y=x+r=35-r\\ z=x+5r=35+3r\end{array}$

$(1)$ $y^2=x\cdot z$
       $(35-r{)}^2=(35-2r)(35+3r)$
       $35^2-70r+r^2=35^2-70r+105r-6r^2$
       $7r^2-105r=0$
       $7r\left(r-15\right)=0$

$r=0$    $\vee$    $r=15$ 

$1^{\circ }$ $r=0$
     Wtedy $x=y=z$, czyli ciąg $\left(x,y,z\right)$ nie
     jest rosnący.  → sprzeczność

$2^{\circ }$ $r=15$
     $(x,y,z)=(35-2\cdot 15,35-15,35+3\cdot 15)$
                    $=(5,20,80)$

Odp.: $(x,y,z)=(5,20,80)$