8- Zadanie 8: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Rozwiązanie

$(a, b, c)$ $\leftarrow$ dodatni ciąg arytmetyczny
$(\frac{1}{a}, \frac{2}{3 b}, \frac{1}{2 a + 2 b + c})$ $\leftarrow$ ciąg geometryczny

$(2)$ $\frac{2}{3 b} = \frac{1}{a} \cdot q$
$3 b q = 2 a$
$b = a \cdot \frac{2}{3 q}$

$(1)$ $2 b = a + c$
$c = 2 b - a = a \cdot \frac{4}{3 q} - a$
$c = a (\frac{4}{3 q} - 1)$

$(2)$ $\frac{1}{2 a + 2 b + c} = \frac{1}{a} \cdot q^{2}$
$a = q^{2} (2 a + 2 b + c)$
$a = q^{2} (2 a + a \cdot \frac{4}{3 q} + a \cdot (\frac{4}{3 q} - 1)) : a$
$q^{2} (2 + \frac{4}{3 q} + \frac{4}{3 q} - 1) = 1$
$q^{2} (1 + \frac{8}{3 q}) = 1$

$\frac{8}{3} q + q^{2} = 1$
$q^{2} + \frac{8}{3} q - 1 = 0$
$3 q^{2} + 8 q - 3 = 0$
$Δ = 8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 3) = 100$ $\to$ $Δ = 10$
$q = \frac{- 8 + 10}{6} = \frac{1}{3}$ $\lor$ $q = \frac{- 8 - 10}{6} = - 3$
Ciąg $(a, b, c)$ ma wyrazy dodatnie, więc ciąg $(\frac{1}{a}, \frac{2}{3 b}, \frac{1}{2 a + 2 b + c})$ też jest dodatni. W takim razie $q$ nie może być ujemne, czyli $q = \frac{1}{3}$ .