$(3)$ $y=x+r$,    $z=x+5r$
       $z-y=4r$,    $y-x=r$
       $z-y=4\left(y-x\right)$
       $z=5y-4x$

$(1)$ $y=xq$,    $z=x{q}^2$
       $x{q}^2=5xq-4x$
       $x\left(q^2-5q+4\right)=0$

$1^{\circ }$ $x=0$
     Wtedy $\left(x,y,z\right)=(0,0,0)$, czyli ciąg
     $\left(x,y,z\right)$ nie jest rosnący. Ta opcja
     odpada.

$2^{\circ }$ $q^2-5q+4=0$
     $\Delta =(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=9$   $\to$   $\sqrt{\Delta }=3$
     $q=\frac{5+3}{2}=4$       $\vee$       $q=\frac{5-3}{2}=1$
     Ciąg $(x,y,z)$ jest rosnący, czyli $q$ nie
     może być równe $1$. W takim razie $q=4$.

$(2)$ $x+5x+25x=105$
       $31x=105$
       $x=5$
       $(x,y,z)=(5,20,80)$

Odp.: $(x,y,z)=(5,20,80)$