Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $\mathbf{x}$ i dla każdej liczby rzeczywistej $\mathbf{y}$ prawdziwa jest nierówność
                                                       ${\mathbf{x}}^2+5{\mathbf{y}}^2-4\mathbf{xy}+8\mathbf{y}+16\ge 0$

Rozwiązanie

Rozważmy to jak nierówność kwadratową z niewiadomą $x$, gdzie $y$ jest parametrem.

$x^2-4yx+5y^2+8y+16\ge 0$
$\Delta ={\left(-4y\right)}^2-4\left(5y^2+8y+16\right)=$                                                           
$=16y^2-20y^2-32y-64=-4y^2-32y-64$

Chcemy, aby $\Delta \le 0$, czyli $-4y^2-32y-64\le 0$.                                        
Sprawdźmy, czy tak jest.
${\Delta }^{\prime }=32^2-4\cdot \left(-4\right)\left(-64\right)=1024-1024=0$                          
${\Delta }^{\prime }=0$ i $-4<0$, więc $-4y^2-32y-64\le 0$.

Analogiczny efekt otrzymamy, gdy potraktujemy tę nierówność jak nierówność kwadratową z niewiadomą $y$, gdzie $x$ jest parametrem.

Zatem prawdziwa jest nierówność z tezy, czyli $x^2+5y^2-4yx+8y+16\ge 0$.                        $■$