Pokażemy, że $x^2+xy+y^2>0$.
Rozważmy tę nierówność jak nierówność kwadratową z niewiadomą $x$, gdzie $y$ jest parametrem.
$x^2+yx+y^2>0$
$\Delta =y^2-4y^2=-3y^2\le 0$                 
$1^{\circ }$ Dla $y\ne 0$:
$\Delta <0$
Więc $x^2+xy+y^2>0$ .
$2^{\circ }$ Dla $y=0$:
$x^2+yx+y^2=x^2\ge 0$
Dla $x\ne 0$ mamy $x^2>0$.
Nie może się zdarzyć, że $x=y=0$, ponieważ $x\ne y$.
Zatem $x^2+xy+y^2>0$ dla $x,y\in \mathbb{R}$ i $x\ne y$.

Analogiczny wniosek dostalibyśmy, gdybyśmy założyli, że $x$ będzie parametrem, a $y$ niewiadomą.

Zatem wyrażenie ${\left(x-y\right)}^2\left(x^2+xy+y^2\right)$ to iloczyn dwóch liczb dodatnich. Jest on dodatni, więc prawdziwa jest nierówność z tezy.                                                                                      $■$